2002 - Liceo scientifico PNI sessione suppletiva

Esami di Stato di liceo scientifico

Piano nazionale di informatica – scientifico Brocca

Sessione 2002

Seconda prova scritta

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

Problema 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y) è assegnata la funzione:

y = (a + b log x) / x (log x)

ove log denota il logaritmo naturale di x e a e b sono numeri reali non nulli.

a) Si trovino i valori di a e b per i quali il grafico G della funzione passa per i punti (e⁻¹, 0) e (e⁻², 2/3);

b) Si studi e si disegni G;

c) Si determini l’equazione della curva G’ simmetrica di G rispetto alla retta y = y¹;

d) Si determini, con uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione dell’area delimitata, per 1 ≤ x ≤ 2, da G e da G’;

e) Si disegnino, per i valori di a e b trovati, i grafici di:

y = (a + b log x) / x e y = (a + b log x) / x.

Problema 2

È data la sfera S di centro O e raggio r. Determinare:

• a) Il cono C di volume minimo circoscritto a S;
• b) Il cono C’ di volume massimo inscritto in S;
• c) Un’approssimazione in litri della capacità complessiva di C e C’, posto r = 1 metro;
• d) La misura, in gradi sessagesimali, dell’angolo del settore circolare sviluppo della superficie laterale del cono C;
• e) La misura approssimata, in gradi sessagesimali, dell’angolo di semiapertura del cono C applicando uno dei metodi numerici studiati.

Questionario

1. Da un’urna contenente 90 palline numerate se ne estraggono quattro senza reimbussolamento.

Supponendo che l’ordine in cui i numeri vengono estratti sia irrilevante, come è nel gioco dell’Enalotto, si calcoli la probabilità che esca la quaterna (7, 47, 67, 87).

2. Calcolare la probabilità che in dieci lanci di una moneta non truccata dal quinto lancio in poi esca sempre testa.

3. Calcolare la derivata rispetto a x della funzione

∫_x^b f(t) dt

ove f(x) è una funzione continua.

4. Calcolare:

lim_{x → 0} ∫₀^x 3 sin t dt / x⁴

5. Utilizzando il teorema di Rolle provare che tra due radici reali di e^x − sin x − 1 c’è almeno una radice reale di e^x cos x − 1.

6. Applicando il teorema di Lagrange all’intervallo di estremi 1 e x, provare che:

1 − 1/x < log x < x − 1

e dare del risultato un’interpretazione grafica.

7. Verificare che la funzione:

y = (1 − e^{1 − x}) / (1 + e^{1 − x})

è invertibile e, detta g la funzione inversa, calcolare g’(0).

8. Con uno dei metodi di quadratura studiati, si valuti l’integrale definito

∫₁³ (log x / x) dx

con un errore inferiore a 10⁻⁴.

9. Verificato che l’equazione cos x − log x = 0 ammette una sola radice positiva compresa tra 1 e 2, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

10. Chiarire, con esempi appropriati, la differenza in matematica tra “concetto primitivo” e “assioma”.

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Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario d’Italiano.

Problema 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y) è assegnata la funzione:

y = (a + b log x) / x (log x)

ove log denota il logaritmo naturale di x e a e b sono numeri reali non nulli.

Punto 1

Si trovino i valori di a e b per i quali il grafico G della funzione passa per i punti (e⁻¹, 0) e (e⁻², 2/3).

Impostiamo il passaggio per i due punti indicati nella traccia:

a + b log e⁻¹ = 0

a − b = 0

a = 1

e⁻² (a + b log e⁻²) = 2/3

a − 2b = 2/3

b = 1/3

Quindi la funzione diventa y = (1 + log x) / x.

Punto 2

Si studi e si disegni G.

Studio di y = (1 + log x) / x.

Dominio: x > 0 cioè (0, +∞).

Intersezioni asse ascisse: y = 0 ⟹ 1 + log x = 0 ⟹ x = e⁻¹.

Intersezioni asse ordinate: non ce ne sono.

Positività: y > 0 la si risolve studiando separatamente numeratore e denominatore:

N(x) = 1 + log x > 0 ⟹ x > e⁻¹.

D(x) = x > 0.

Mettendo sulla stessa retta gli intervalli del numeratore e denominatore si ricava che

y > 0 ⟹ (e⁻¹, +∞).

Asintoti verticali: x = 0, infatti lim_{x → 0⁺} (1 + log x) / x = +∞ · (−∞) = −∞.

Asintoti orizzontali: y = 0, infatti lim_{x → +∞} (1 + log x) / x = lim_{x → +∞} (log x / x) = 0, per de l’Hopital.

Asintoti obliqui: non ce ne sono.

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è:

y’ = − log x / x², per cui y’ > 0 ⟺ − log x > 0 ⟺ log x < 0 ⟺ 0 < x < 1, perché nel dominio x > 0.

Quindi − log x > 0 ⟹ log x < 0 ⟹ 0 < x < 1, per cui la funzione è strettamente crescente in (0, 1) e strettamente decrescente in (1, +∞).

Flessi: la derivata seconda è:

y’’ = (2 log x − 1) / x³, per cui y’’(1) = −1 < 0, cioè x = 1 è un massimo,

mentre y’’(x) = 0 ⟹ 2 log x − 1 = 0 ⟹ log x = 1/2 ⟹ x = √e, cioè (√e, 3/(2√e)) è un flesso a tangente obliqua.

Il grafico è sotto rappresentato:

Punto 3

Si determini l’equazione della curva G’ simmetrica di G rispetto alla retta y = y¹.

La curva simmetrica rispetto alla retta è data dall’equazione