2008 - Liceo scientifico, scuole italiane all'estero (Europa)

Corso di ordinamento - Sessione ordinaria all’estero (Europa) - a.s. 2007-2008

Soluzione di De Rosa Nicola

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Ministero della pubblica istruzione

Scuole italiane all’estero (Europa)

Esami di stato di liceo scientifico

Sessione ordinaria a.s. 2007/08

Problema 1

La circonferenza γ passa per B (0,-4) ed è tangente in O (0, 0) alla retta di coefficiente angolare –4;

la parabola λ passa per A(4,0) ed è tangente in O a γ.

1. Si disegnino γ e λ e se ne determinino le rispettive equazioni cartesiane.

2. Sia α l’angolo sotto cui è visto il segmento OB da un punto dell’arco di γ appartenente al quarto quadrante. Si dia una misura di α approssimandola in gradi e primi sessagesimali.

3. Se P è un punto dell’arco di λ contenuto nel quarto quadrante e H la sua proiezione sull’asse x, si trovi la posizione di P affinché il triangolo OPH abbia area massima.

4. Si conducano le due rette tangenti a λ nei suoi punti O e A; si calcoli l’area del triangolo mistilineo delimitato dall’arco di parabola appartenente al quarto quadrante e dalle due tangenti.

Problema 2

Nell’insieme delle funzioni y = f (x) tali che ax

=

'

y ( )

2

+ 2

1 4 x

⎛ ⎞

1 ( )

⎜ ⎟ e

,

1

si trovi quella il cui grafico γ passa per i punti 0

, 2

2

⎝ ⎠

2

= è quella richiesta, si disegni γ.

1. Constatato che la funzione definita da: y + 2

1 4 x

2. Si conduca la tangente a γ in un suo generico punto P. Sia Q l’intersezione di tale tangente con l’asse x e H la proiezione ortogonale di P sull’asse x. Per quale valore di x è minima la lunghezza del segmento HQ?

3. Si calcoli l’area della superficie piana delimitata da γ e dagli assi cartesiani.

1

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Questionario = 3

La regione R delimitata dal grafico di 7, dall’asse x e dalla retta x=2 è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte dei quadrati. Si calcoli il volume di S.

1) y x

Le misure dei lati di un triangolo sono 12, 16 e 20. Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali.

2) cm

Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:

3) − − + =

3 2 3 2 0

x x k

La capacità di una damigiana di vino è pari a quella del massimo cono circolare retto di apotema 50 cm. Si dica quanti litri di vino la damigiana può contenere.

4) Si dica quanti di vino la damigiana può contenere.

50cm. litri + + =

7

Si dimostri che l’equazione 5 5 0 ha una sola radice reale.

5) x x

Si traccino i grafici delle seguenti funzioni di R in R:

6) + −

→ → + → →

1 x

: 5 ; : 5 1

; : 5 ; : 5

x x x

f x g x h x k x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

10 10

n

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

=

7) Quale significato attribuisci al simbolo? Esiste un k tale che?

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k k k

Dimostra che la media geometrica di due numeri positivi non è mai superiore alla loro media aritmetica. Cioè ab 2 2

8) +

a b

≤

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Problema 1

La circonferenza γ passa per B (0,-4) ed è tangente in O (0, 0) alla retta di coefficiente angolare –4; la parabola λ passa per A(4,0) ed è tangente in O a γ.

Punto 1

Si disegnino γ e λ e se ne determinino le rispettive equazioni cartesiane.

+ + + + =

2 2

La circonferenza ha una equazione generica 0. Il passaggio per O(0,0)

x y ax by c

= − + = =

; il passaggio per B(0,-4) comporta, invece, da cui sfruttando comporta 0 16 4 0 0

c b c c

+ + + =

= 2 2

. L’equazione così diventa: 4 0. L’altro parametro lo calcoliamo si ricava 4

b x y ax y + + + =

2 2 con la retta

imponendo la condizione di tangenza della circonferenza 4 0

x y ax y ( )

+ − =

= − 2

17 16 0

4; dall’intersezione tra la circonferenza e la retta si ricava l’equazione x x a

y x =.

ed imponendo la condizione di tangenza si ricava 16

a

γ + + + =

2 2 con centro in (-8,-2) e

La circonferenza, in conclusione, ha equazione: 16 4 0

x y x y

=

raggio 2 17.

R = + + =

2

La parabola ha generica equazione. Il passaggio per O(0,0) comporta; il

0

y ax bx c

+ + = = = −

da cui sfruttando si ricava.

passaggio per A(4,0) comporta, invece, 16 4 0 0 4

a b c c b a

( ) ( )

= − = −

2 4. La derivata della parabola è; la tangente in

L’equazione così diventa ' 2 2

y a x x y a x

( ) ( )

= = = − = −

(0,0) ha equazione con per cui la tangente ha equazione

' 0 2 0 2 4

y mx m y a a

= −

4. Poiché la parabola in O(0,0) è tangente alla circonferenza, e dal momento che in O(0,0)

y ax = −

4, la condizione di tangenza in O(0,0) tra la

la circonferenza ha tangente di equazione y x =.

parabola e la circonferenza è soddisfatta se e solo le due tangenti coincidono e quindi se 1

a

( )

λ = −

2

: 4 con vertice in V(2,-4).

La parabola, in conclusione, ha equazione y x x

I grafici sono di seguito presentati in un unico sistema di riferimento:

3

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Punto 2

Sia α l’angolo sotto cui è visto il segmento OB da un punto dell’arco di γ appartenente al quarto quadrante. Si dia una misura di α approssimandola in gradi e primi sessagesimali.

γ + + + =

2 2

Supponiamo di prendere un punto del quarto quadrante di: 16 4 0 con ordinata maggiore di -2 senza perdere di generalità nel discorso che porteremo avanti. Tale punto avrà

x y x y

coordinate, 2 4 16; indichiamo inoltre l’angolo. Il tutto è rappresentato

P x x x A P B

nella figura sottostante in cui è raffigurata solo la parte di circonferenza del quarto quadrante:

4

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+ −

2 2 2

( ) OP PB OB

α =

cos.

Applicando il teorema di Carnot al triangolo OPB si ha · ·

2 OP PB

Ma:

( 2

= + − + − − = − − − −

2 2 2 2

2 4 16 8 16 4 4 16

OP x x x x x x

) )

( (

2 2

= + − + − − + = + + − − = − + − −

2 2 2 2 2 2

2 4 16 4 2 4 16 8 16 4 4 16

PB x x x x x x x x x

=

2 16

OB ( )

( ) 2

· = − − − − · − + − − = − − − − =

2 2 2

8 16 4 4 16 8 16 4 4 16 8 16 16 4 16

OP PB x x x x x x x x x

= + − − + + = =

2 2 2

64 256 256 64 16 256 272 4 17

x x x x x x

≥

=

in cui si è sfruttato che per.

0

x

x x