2001 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero

Sessione ordinaria Estero 2001. Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Scuole Italiane all'Estero

Esami di Stato di liceo scientifico

Sessione 2001

Seconda prova scritta

Tema di Matematica

Problema 1

È assegnato un cilindro equilatero Q il cui raggio di base misura a.

a) Si determini il cono C di volume minimo circoscritto al cilindro (C e Q hanno basi complanari);

b) Si determini il valore di a per il quale il volume di C, approssimato alla prima cifra decimale, è

3

31,4 dm³;

c) Si determini il volume della sfera S circoscritta a C.

Problema 2

Nel piano riferito ad un sistema di riferimento ortogonale monometrico è data la curva G di equazione: 3

x

= −

y 2 x 2

a) Si studi e si rappresenti G;

b) considerata la retta r di coefficiente angolare m passante per il punto A(2, 0), si determini, al variare di m, il numero delle intersezioni di r con G;

c) si calcoli l'area della regione finita di piano R, del primo quadrante, delimitata da G e dall'asse x;

d) si determini il volume del solido generato da R in un giro completo intorno all'asse x.

www.matematicamente.it 1

Sessione ordinaria Estero 2001. Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Questionario

1. Enunciare il teorema di de L'Hôpital e applicarlo per dimostrare che:

7

x

lim x

→ +∞ 2

x

2. Mostrare, eventualmente anche con esempi, che la derivata del prodotto di due o più funzioni non è il prodotto delle derivate. ( )

( )

− m p' x

3. Dimostrare che se un polinomio p(x) è divisibile per allora è divisibile per

x a

( ) −

− m 1

x a

4. Calcolare la derivata della funzione: x −

arcsin arctan x

+ 2

1 x

Dal risultato quali conseguenze se ne possono trarre per la f(x)? È una costante?

5. Si ricavi la formula che dà il numero delle combinazioni semplici di n elementi a k a k.

6. Verificare che: 2 ( )

e 2

( ) e

∫ = −

2

log 3 1

x x dx e

4

e

7. Siano a e b due numeri positivi diversi da 1. Dimostrare che:

· =

log log 1

b a

a b

8. La somma di due numeri non negativi è 16. Quale è il valore più basso che assume la somma dei loro quadrati? Quale il valore più alto?

La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a quattro domande scelte all'interno del questionario.

Durata massima della prova: 6 ore

È consentito l'uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario d'Italiano.

www.matematicamente.it 2

Sessione ordinaria Estero 2001. Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Problema 1

È assegnato un cilindro equilatero Q il cui raggio di base misura a.

Punto 1

Si determini il cono C di volume minimo circoscritto al cilindro (C e Q hanno basi complanari);

Si consideri la figura sottostante raffigurante in sezione il cono circoscritto al cilindro.

C

G K F

A B

D H E

= = =

>

CH x FE DE 2 a

con

Poniamo x 2 a. Il cilindro è equilatero per cui. I triangoli CHB e

( ) ax

= =

= −

CH : HB CK : KF. Il

HB

x : HB x 2 a : a da cui

CKF sono simili per cui e cioè −

x 2 a

)

( π 2 3

( ) a x

1 2

π

= · · =

V x HB CH

volume del cono è. La minimizzazione del volume la

( )

Cono − 2

3 3 x a

2

effettuiamo tramite derivazione. La derivata prima del volume è:

( ) ( ) ( )

π π π

     

− − − − −

2

2 2 3 2 3 2 2 2

( ) a 3 x x 2 a 2 x x 2 a a x 6 ax a x x 6 a

= = =

'       per cui

V x ( ) ( ) ( )

Cono − − −

4 3 3

3 3 3

   

 

x 2 a x 2 a x 2 a

( )

π  

−

2 2

( ) ( ) ( )

a x x 6 a

= > > +∞

⇒ ⇒

'  

V x 0 x 6 a V x strettamente crescente in 6 a,

( )

Cono Cono

− 3

3  

x 2 a

( )

π  

−

2 2

( ) ( ) ( )

a x x 6 a

= < < <

⇒ ⇒

'   0 2 6 strettamente decrescente in 2, 6

V x a x a V x a a

( )

Cono Cono

− 3

3  

x 2 a

( )

π  

−

2 2

( ) a x x 6 a

= = =

⇒

'  

V x 0 x 6 a ascissa di minimo relativo proprio

( )

Cono − 3

3  

x 2 a ( )

π π

3

2 3

( ) a 6 a 9 a

= = =

Quindi il volume minimo lo si ha per x 6 a e vale V 6 a ( )

Cono − 2

3 2

6 a 2 a

Punto 2

Si determini il valore di a per il quale il volume di C, approssimato alla prima cifra decimale, è

3

31,4 dm³; π 3

9 a 20 20

π

π = = =

= ⇒ ⇒

3

3 3 10 a a dm

Il volume di C è 31

, 4 dm³ 10 dm se.

3

2 9 9

www.matematicamente.it 3

Sessione ordinaria Estero 2001. Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Punto 3

Si determini il volume della sfera S circoscritta a C.

Consideriamo la figura seguente: C

O H

A B

L 2

CB

2 2 2 2

= · → = = +

. Ora dove

Il triangolo CLB è rettangolo per cui CB CH CL CL CB CH HB

CH 2

a

153

2

2 2

a a CB a

51

3a 9 153

2 2 2 4

= + = + = = = =

= 2

CB CH HB a CL

HB per cui 36 per cui a

2 4 4 6 8

CH

CL a

51

= =

R

per cui il raggio della sfera è ed il volume è

2 16

3

 

51

a

π  