Corso di ordinamento- Sessione suppletiva - a.s. 2007-2008
Soluzione di De Rosa Nicola
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ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO
Tema di: MATEMATICA
a. s. 2007-2008
PROBLEMA 1
Dato un quadrante AOB di cerchio, di centro O e raggio 2, si consideri sull’arco AB un punto P.
⎛ ⎞
x ˆ
= =
⎜ ⎟ ) l’area del quadrilatero OMPN, essendo
tan (con
1. Si esprima in funzione di t x B
O
P
2
⎝ ⎠
M ed N i punti medi dei raggi OA e OB. γ
2. Si studi la funzione f(t) così ottenuta e si tracci il suo grafico , indipendentemente dai limiti
posti dal problema geometrico.
3. Si dica per quale valore di x l’area del quadrilatero assume valore massimo.
γ
4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva e l'asse x.
PROBLEMA 2
Si consideri la funzione: ( )
( ( ) )
= +
sin 2 cos 1
y x x ( )
γ π
1. Tra le sue primitive si individui quella il cui diagramma passa per il punto .
, 0
P
γ π
≤ ≤
nell’intervallo e si dimostri che essa è
2. Si rappresenti graficamente la curva 0 2
x
π
= .
simmetrica rispetto alla retta x π e
3. Si scrivano le equazioni della retta tangenti alla curva nei suoi due punti A e B di ascisse 2
π
3 e si determini il loro punto d’intersezione C.
2
4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva e le due suddette tangenti. 1
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QUESTIONARIO
Si determini la distanza delle due rette parallele:
1) + − = + + =
3 3 10 0 6 2 5 10 0
x y x y
Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r in modo che la base
2)
maggiore contenga il diametro. Si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza x dell’angolo
acuto del trapezio, affinché il solido da esso generato in una rotazione completa attorno alla base
maggiore abbia volume minimo.
Si determinino le equazioni degli asintoti della curva:
3) ( ) = − + + + +
2
1 2 2
f x x x x
Si calcoli il limite della funzione:
4) ( ) ( )
−
cos cos 2
x x
( )
−
1 cos x
quando x tende a 0. )
(
( ) = + + 2
Si calcoli il valore medio della funzione log 1 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.
5) f x x x
Si sechi il solido di una sfera con un piano, in modo che il circolo massimo sia medio
6)
proporzionale fra le superficie appianate delle calotte nelle quali rimane divisa la sfera.
x
( ) ( )
= +
La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione 1 e dall’asse x
7) 2
f x e x
nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1 è la base di un solido S le cui sezioni sono tutte esagoni regolari. Si calcoli
il volume di S.
Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste una piramide triangolare regolare tale
8)
che k sia il rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base.
Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:
9) ( ) ( )
( ) sin x
= +
2 1
f x x
π
=
nel punto P di ascissa .
x 2
Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che
10) ( )
+ +
2 2
1 ,
1 , ottenuto al variare di t nei reali.
cosa rappresenta l’insieme dei punti P t t 2
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PROBLEMA 1
Dato un quadrante AOB di cerchio, di centro O e raggio 2, si consideri sull’arco AB un punto
P.
Punto 1 ⎛ ⎞
x ˆ
= =
⎜ ⎟
tan
Si esprima in funzione di (con ) l’area del quadrilatero OMPN, essendo
t x B
O
P
2
⎝ ⎠
M ed N i punti medi dei raggi OA e OB.
Consideriamo la figura sottostante:
L’area del quadrilatero OMPN è la somma delle aree dei triangolo OMP e ONP:
⋅ ⋅
( ) ( )
( ) ( ) ( ) OM PK ON PH
= =
= + ,
con .
S OMP S ONP
S OMNP S OMP S ONP 2 2
ˆ
= ° < < °
con si ha:
Ma, posto ,
0 90
x B O
P x
( ) ( )
ˆ
= ⋅ = ⋅
sin 2 sin
PH OP H
O
P x
( ) ( ) ( )
ˆ
= ⋅ ° − = ⋅ ° − = ⋅
sin 90 2 sin 90 2 cos
PK OP H
O
P x x
( )
( )
⋅ ⋅
1 2 cos 1 2 sin
( ) ( ) ( )
x x
= + = +
cos sin .
per cui S OMNP x x
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x
− 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 tan 1 tan − − + +
2 2
2 1 2 1
2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )
( ) ( ) t t t t
= + =
=
=
Inoltre per cui con
sin , cos f t
x x + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 2
1 1 1
x x t t t
+ +
2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 tan 1 tan
2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
> .
il limite geometrico 0
t
Punto 2 γ
Si studi la funzione f(t) così ottenuta e si tracci il suo grafico , indipendentemente dai limiti
posti dal problema geometrico. 3
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− + +
2 2 1
( ) t t
=
Studiamo la funzione f t + 2
1 t
Dominio: R − + +
2 2 1
( ) t t
= = ⇒ − − = ⇒ = ±
2
0 2 1 0 1 2
f t t t t
Intersezioni asse ascisse: + 2
1 t
( )
= ⇒ =
0 0 1
Intersezioni asse ordinate: t f
la funzione non è né pari né dispari
Eventuali simmetrie:
− + +
2 2 1
( ) t t
= ≥ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤ +
2
0 2 1 0 1 2 1 2
Positività: f t t t t
+ 2
1 t
non ce ne sono
Asintoti verticali: ⎞
⎛ − + +
2 2 1
t t ⎟
⎜ = −
= − per cui la retta 1 è asintoto orizzontale
lim 1
Asintoti orizzontali: y
⎟
⎜ + 2
1
→ ±∞ ⎠
⎝ t
t ( ) ( ) ( )
( )
( )
− + + − − + + − + −
2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1
( ) t t t t t t t
= = per cui la
'
Crescenza e decrescenza: f t ( ) ( )
2 2
+ +
2 2
1 1
t t
( )
− − − +
1 2 , 1 2 , strettamente decrescente in
funzione è strettamente crescente in
( ) ( )
− ∞ − − ∨ − + +∞ = − −
, 1 2 1 2 , e si annulla in in cui presenta un minimo relativo
1 2
t
( ) ( )
− − − − +
= − +
1 2 , 2 1 2 , 2
in cui presenta un massimo relativo
ed in .
1 2
m M
t ( )
( )
− + +
2
4 1 4 1
( ) t t t
= per cui la funzione presenta tre flessi alle
' '
Concavità e convessità: f t ( )
3
+ 2
1 t
= = − − = − +
ascisse .
1
, 2 3 , 2 3
t t t
1 2 3
Il grafico è di seguito presentato: 4
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Punto 3
Si dica per quale valore di x l’area del quadrilatero a
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