2003 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero - sessione ordinaria

Sessione ordinaria Estero 2002 - 2003

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

Scuole italiane all’estero

Esami di stato di liceo scientifico

Sessione ordinaria 2003

Calendario australe

Seconda prova scritta

Tema di Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

Problema 1

Considerate le funzioni − −

+ −

t t t t

( ) ( )

e e e e

= =

f(t) g(t)

,

2 2

1. Tracciate nel piano (t; y) i loro rispettivi grafici F e G.

( )

− =

2 2 f(t)

2. Provate che un punto qualsiasi dell’iperbole 1

x y avente per ascissa ha per ordinata

1

( ).

g(t) 1

3. Siano P e Q i punti rispettivamente di F e G aventi la medesima ascissa t.

0

Stabilite se la distanza tra P e Q assume un valore di minimo o di massimo assoluto per qualche particolare valore di t.

0

= −

4. Calcolate l’area della regione limitata da F, G, dall’asse y e dalla retta di equazione e quella

t 1

= .

della regione limitata da F, G, dall’asse y e dalla retta di equazione t 1

Problema 2

= − + +

2 abbia il vertice in A(1; 6).

Determinare b e c affinché la parabola di equazione y x bx c =

xy k passi per A.

Determinare altresì il parametro k in modo che l’iperbole di equazione

1. Disegnare le due curve e determinare le coordinate dei loro ulteriori punti comuni indicando con B quello appartenente al primo quadrante.

2. Calcolare l’area della parte di piano limitata dai due archi AB della parabola e dell’iperbole.

3. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa, attorno all’asse y della medesima parte di piano.

www.matematicamente.it 1

Sessione ordinaria Estero 2002 - 2003

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

Questionario

1. Cosa si intende per funzione periodica? Quale è il Periodo della funzione

( ) ( ) ( )

= + ?

f(x) tan 2 x cos 2 x + + + =

3 2

ax bx cx d 0

2. Provate che se l’equazione ha due soluzioni entrambe di valore k, allora k è

+ + =

2

3

ax 2

bx c 0.

anche soluzione dell’equazione

3. Provate che la curva di equazione −

+ + + +

"

1

n n

a x a x a x a

= −

0 1 1

n n

y −

+ + + +

"

1

n n

b x b x b x b

−

0 1 1

n n a

= 0

con a e b reali non nulli, ammette per asintoto la retta di equazione y

0 0 b

0

−

x 2

e x?

4. Quale è il flesso della funzione = + + +

3 2

5. Provate che una qualsiasi curva di equazione y ax bx cx d presenta uno e un solo flesso

e che questo è il centro di simmetria della curva. =

6. Per quale x la tangente alla curva di equazione y arcsin x ha coefficiente angolare 1?

( ) ( )

=

= − =

2 y x

7. F(x) e G(x) sono due primitive rispettivamente di y x e. Sapendo che è,

G − F

0 0 3

( ) ( )

−

quanto vale?

G − F

1 1

8. Tra i coni circolari retti di apotema 3 dm quale è quello di capacità massima? Esprimete in litri tale capacità massima.

______________________________________________________________________

Durata massima della prova: 6 ore

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.

www.matematicamente.it 2

Sessione ordinaria Estero 2002 - 2003

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

Problema 1

Considerate le funzioni − −

+ −

t t t t

( ) ( )

e e e e

= =

f(t) g(t)

,

2 2

Punto 1

Tracciate nel piano (t; y) i loro rispettivi grafici F e G.

−

+

t t

( ) e e

=

f(t)

Studiamo la funzione 2

Dominio: R;

Intersezioni asse ascisse: non ve ne sono;

= ⇒ =

Intersezioni asse ordinate: t y

0 1;

−

+

t t

( ) e e

= > ⇒ ∀ ∈

Positività: f(t) t R

0

2

Asintoti verticali: non ve ne sono;

−

+

t t

e e = +∞

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto;

lim

→ ±∞ 2

t De

− −

+ −

t t

t t L’Hospital

e e e e

= = ±∞

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto;

lim lim

→ ±∞ → ±∞

t

2 2

t

t −

−

−

t t

( ) e e

=

f(t)

Crescenza e decrescenza: la derivata prima della funzione è: per cui

′ 2

−

−

t t

( ) e e −

= > ⇒ > ⇒ > − ⇒ >

t t

f(t) e e t t t

′ 0 0 per cui la funzione è strettamente crescente

2

( )

+∞ e strettamente decrescente altrove.

in 0

, −

+

t t

( ) e e

= > ⇒ ∀ ∈

Concavità e convessità: f(t) t R

la derivata seconda è ′ ′ 0 per cui la

2

( ) ( )

= > per cui è un

funzione presenta sempre concavità verso l’alto. Inoltre y ′ ′ 0 1 0 0

,

1

minimo relativo ed assoluto.

−

−

t t

( ) e e

=

g(t)

Studiamo la funzione 2

Dominio: R;

−

−

t t

( ) e e −

= = ⇒ = ⇒ = − ⇒ =

t t

Intersezioni asse ascisse: g(t) e e t t t

0 0;

2

www.matematicamente.it 3

Sessione ordinaria Estero 2002 - 2003

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

= ⇒ =

Intersezioni asse ordinate: t y

0 0;

−

−

t t

( ) e e −

= > ⇒ > ⇒ > − ⇒ >

t t

Positività: g(t) e e t t t

0 0

2

Asintoti verticali: non ve ne sono;

−

−

t t

e e = ±∞

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto;

lim

→ ±∞ 2

t De

− −

− +

t t

t t L’Hospital

e e e e

= = +∞

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto;

lim lim

→ ±∞ → ±∞

t

2 2

t

t −

+

t t

( ) e e

=

g(t)

Crescenza e decrescenza: la derivata prima della funzione è: per cui la

′ 2

funzione è strettamente crescente in tutto R.

Concavità e convessità: la derivata seconda è