1998 - liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva problema1

Problema 1 – Maturità suppletiva 1997-1998

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

Liceo di ordinamento.

Sia data la funzione f(x) = (x + 1)e^{1 - x}. Il candidato:

• Si studi la funzione f(x);
• In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, disegni la curva C di equazione y = f(x);
• Determini l’area della regione finita di piano compresa tra la curva C, l’asse delle ascisse e le due rette, parallele all’asse delle ordinate e passanti rispettivamente per il punto A(x₀, f(x₀)), essendo x₀ il valore di x in cui f(x) assume valore estremo relativo, e per il punto B(x₁, f(x₁)), essendo x₁ il valore di x in cui f(x) ha un flesso;
• Calcoli l’area della regione piana delimitata dalla curva C e dall’asse x.

Risoluzione

Punto a

Si studi la funzione f(x).

Studiamo la funzione f(x) = (x + 1)e^{1 - x}.

Dominio: R.

Intersezione con l’asse delle ascisse:

f(x) = (x + 1)e^{1 - x} = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = -1.

Intersezione con l’asse delle ordinate:

x = 0 → y = e.

Eventuali simmetrie: non è una funzione né pari né dispari.

Positività: f(x) = (x + 1)e^{1 - x} > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x ∈ (-1, +∞).

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione ha R come dominio.

Asintoti orizzontali:

lim_{x → +∞} (x + 1)e^{1 - x} = lim_{x → +∞} (x + 1) / e^{x - 1} = lim_{x → +∞} (x + 1) / e^x · e = 0, per cui y = 0 è asintoto orizzontale destro.

lim_{x → -∞} (x + 1)e^{1 - x} = -∞ · +∞ = -∞.

Asintoti obliqui: non ve ne sono, infatti:

lim_{x → +∞} f(x) / x = lim_{x → +∞} ((x + 1)e^{1 - x}) / x = lim_{x → +∞} (x + 1) / (xe^{x - 1}) = 0.

lim_{x → -∞} f(x) / x = lim_{x → -∞} ((x + 1)e^{1 - x}) / x = lim_{x → -∞} (x + 1) / (xe^{x - 1}) = +∞.

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