2007 - Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria

Sessione straordinaria LS_ORD 2007 Soluzione di De Rosa Nicola

Soluzione

1)

Si consideri la figura sottostante, che rappresenta la questione geometrica:

Il triangolo APB, essendo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo, per cui

= =

AP 2 r sin( x ), PB 2 r cos( x ) . ( )

= + = + = +

= +

2 2 2 2

HC HB BC PB x r r x

Ora CP PH HC con cos( ) 2 2 1 cos ( ) e

= =

PH PB x r x x

sin( ) 2 sin( ) cos( ) .

Il rapporto richiesto è

( )

2

+ +

2 2 2 2 2 2

CP r x x r x

4 sin ( ) cos ( ) 4 1 cos ( )

= = =

y 2

AP PB

* r x x

4 sin( ) cos( )

[ ] ( )

+ + + + + +

2 2 2 4 2 2 2 2 2

r x x x x x x x x

4 sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 2 cos ( ) cos ( ) cos ( ) sin ( ) 1 2 cos ( )

= = =

2 x x

sin( ) cos( )

r x x

4 sin( ) cos( ) + 2 x

1 3 cos ( )

= x x

sin( ) cos( ) 1

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tan( x ) 1

= =

2

sin( x ) cos( x ) , cos ( x ) , per cui il rapporto può essere

Ora ricordiamo che + +

2 2

1 tan ( x ) 1 tan ( x )

così scritto: 3

+

1

+ +

+

2 2

2

1 3 cos ( x ) tan ( x ) 4 4

1 tan ( x )

= = = = + = +

y tan( x ) tan( x ) 4 cot tan( x )

tan( x )

sin( x ) cos( x ) tan( x ) tan( x )

+ 2

1 tan ( x )

π

 

∈  

con la restrizione geometrica . Si nota come il rapporto richiesto sia indipendente dal

0

,

x  

2

raggio ma solo funzione dell’angolo.

2) +

2 [ ]

tan ( x ) 4 π

= 0

, 2

y

Studiamo la funzione nell’intervallo :

tan( x ) π

≠ ≠

 

tan( ) 0

x x k π

 

⇔ ⇔ ≠ ∈

π π

  e particolareggiando

Dominio: ,

x k k Z

π π

≠ + ≠ + 2

x k x k

 

2 2 π π π π

       

[ ] 3 3

π π π π

∪ ∪ ∪

       

0

, 2 il dominio sarà:

all’intervallo di studio .

0

, , , , 2

       

2 2 2 2

Intersezioni con gli assi: non ci sono intersezioni con gli assi;

− + + +

2 2 2

tan ( ) 4 tan ( ) 4 tan ( ) 4

x x x

− = = = − = −

( ) ( )

f x f x

Eventuali simmetrie: per cui

− −

tan( ) tan( ) tan( )

x x x

la funzione è dispari; >

 tan( x ) 0 π π

+     

2

tan ( x ) 4 3 π

= > ⇔ ⇔ ∈ ∪

π    



Positività: ;

y 0 x 0

, , 2

≠ =    

tan( x ) 2 2

x k , k 0

,

1

, 2

,

3

, 4

 2

Asintoti verticali:

+

2

tan ( x ) 4 4

= = +∞

lim +

+

→ tan( x ) 0

x 0 + +

2 2

tan ( x ) 4 4 tan ( x ) 4 4

= = +∞ = = −∞

lim , lim

+ −

+ −

π π

→ →

tan( x ) tan( x )

0 0

x x

+

2

tan ( x ) 4 4

= = −∞

lim −

−

π

→ tan( x ) 0

x 2 2

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+

2 [ ]

tan ( x ) 4 = + = −∞

lim lim tan( x ) 4 cot tan( x ) ,

+ +

π π

tan( x )

→ →

x x

2 2

+

2 [ ]

tan ( x ) 4 = + = +∞

lim lim tan( x ) 4 cot tan( x )

− −

π π

tan( x )

→ →

x x

2 2

+

2 [ ]

tan ( x ) 4 = + = −∞

lim lim tan( x ) 4 cot tan( x ) ,

+ +

π π

tan( x )

3 3

→ →

x x

2 2

+

2 [ ]

tan ( x ) 4 = + = +∞

lim lim tan( x ) 4 cot tan( x )

− −

π π

tan( x )

3 3

→ →

x x

2 2 π π

3

π π

= = = = =

Quindi le rette di equazione , ,

x 0

, x x x , x 2 sono asintoti verticali;

2 2

Asintoti orizzontali ed obliqui: non ce ne sono; − −

2 2 2

1 4 sin ( x ) 4 cos ( x ) tan ( x ) 4

= − = =

y ' ( x ) per

Crescenza e decrescenza: 2 2 2 2 2

cos ( x ) sin ( x ) sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )

cui nel dominio di definizione

−

2

tan ( x ) 4

= > − > > ∪ < −

⇒ ⇒

2

y ' ( x ) 0 tan ( x ) 4 0 tan( x ) 2 tan( x ) 2 le cui soluzioni

2

sin ( x ) [ ]

π

0

, 2

nell’intervallo sono:

π π π π

( ) ( ) 3 3

π π π

< < ∪ < < − ∪ + < < ∪ < < −

arctan( 2 ) x x x x 2 arctan( 2 )

arctan( 2 ) arctan( 2 )

2 2 2 2

( ) ( )

π π

− − − −

arctan( 2

), 4 , 2 arctan( 2

), 4

Quindi la funzione presenta i massimi nei punti ed i

( ) ( )

π +

arctan( 2

), 4 , arctan( 2

), 4

minimi nei punti ; +

4 4

2 sin( x ) 8 cos( x ) 2 sin ( x ) 8 cos ( x )

= + =

La derivata seconda è y ' ' ( x ) per cui essa non si

3 3 3 3

cos ( x ) sin ( x ) sin ( x ) cos ( x )

annulla mai, cioè la funzione non presenta flessi.

Il grafico è sotto presentato: 3

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3) π

+

2  

tan ( ) 4

x

=  

y

Dalla figura soprastante emerge che il rapporto nell’intervallo assume

0

,

 

tan( )

x 2

= ≅ ° = °

valore minimo per x arctan( 2 ) 63 . 4349 63 26 ' .

4) A

L’area richiesta è rappresentata nella figura sottostante con : 4

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Tale area è pari a:

π π  

3 3

[ ] sin( x ) cos( x )

∫ ∫

= + = + =

A tan( x ) 4 cot tan( x ) dx 4 dx

 

 

cos( x ) sin( x )

π π

4 4 π

 

π  

[ ] 3

4

sin ( x )

 

= − + = =

 

3

ln cos( x ) 4 ln sin( x ) ln  

π cos( x )

 

