2005 - liceo scientifico - sezioni bilingui italo-albanesi

Sessione ordinaria per le sezioni Italo-Albanesi 2005. Soluzioni a cura di Nicola De Rosa.

Sezioni bilingui Italo-Albanesi

Esame di Stato A.S. 2004-2005

Prova scritta di matematica

1. Studio di una funzione

Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY la funzione

F(x) = (x² + 1) / (4 − x²).

Verificare che le tangenti alla funzione nei punti A e B di ascissa x = 1 e x = −2, si incontrano in un punto dell’asse delle ordinate.

2. Studio di due parabole

Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY le due parabole di equazioni

Y = −X² + 4X − 1 e Y = −X² + 1.

Determinare quindi i punti comuni tra le due parabole e trovare l’area della parte finita di piano compresa tra le due funzioni.

·

Z Z

3. Numeri complessi

Dati i due numeri complessi Z₁ = 3 − 3i e Z₂ = 1 + i, calcola il prodotto Z₁Z₂. Rappresenta nel piano di Gauss il numero complesso così ottenuto e determinane modulo e argomento.

4. Sistema lineare

Risolvere con il metodo di Cramer il seguente sistema

3x − 6y − 3z = −2

x − z = 0

x − 3y + 2z = 4

La durata della prova è di ore 4.

www.matematicamente.it 1

Problema 1

Punto 1

Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY la funzione

F(x) = (x² + 1) / (4 − x²).

Dominio: R ∖ {±2};

Intersezione asse delle ascisse: non ce ne sono;

Intersezioni asse delle ordinate: x = 0 ⇒ F(0) = 1/4;

F(x) = F(−x) = (x² + 1) / (4 − x²);

Eventuali simmetrie: è una funzione pari, infatti F(x) = F(−x);

F′(x) = 10x / (4 − x²)²;

Positività: F(x) > 0 ⇒ x² + 1 > 0 e 4 − x² > 0 ⇒ −2 < x < 2;

Asintoti verticali

lim_x→2+ (x² + 1) / (4 − x²) = −∞, lim_x→2− (x² + 1) / (4 − x²) = +∞;

lim_x→−2+ (x² + 1) / (4 − x²) = +∞, lim_x→−2− (x² + 1) / (4 − x²) = −∞;

per cui x = ±2 sono due asintoti verticali destro e sinistro;

Asintoti orizzontali

lim_x→±∞ (x² + 1) / (4 − x²) = −1 per cui y = −1 è asintoto orizzontale.