1999 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 1

QUESITO 1 MATURITA’ 1998/1999 SVOLTO DA DE ROSA NICOLA

SOLUZIONE

1) La condizione è necessaria ma non sufficiente. Come controesempio basti prendere la

= 3

funzione y x la cui derivata prima si annulla in x=0, ma x=0 è un punto di flesso e non

un estremo relativo, visto che anche la derivata seconda si annulla in x=0 e la derivata terza

è diversa da zero in x=0. Infatti condizione necessaria e sufficiente affinché x sia l’ascissa

0

( )

=

y f x

di un estremo relativo di è che le derivate di ordine dispari ( prima, terza etc) di

( )

=

y f x si annullino in x e le derivate di ordine pari (seconda, quarta etc) siano non nulle

0

in x . Cioè se

0

( ) ( ) ( ( )

) ( )

= ≠ =

' " "

f x 0 e f x 0 allora x , f x è un estremo relativo. Ma se anche f x 0 dobbiamo

0 0 0 0 0

( ) ( ( )

)

( ) ≠

3

guardare la derivata terza ed eventualme

nte la quarta : se f x 0 allora x , f x è un flesso;

0 0 0

( ) ( ) ( ( )

)

( ) ( )

= ≠

3 4

altrimenti se f x 0 e f x 0 x , f x è un estremo relativo. E così via.

0 0 0 0

2) ( )

+

2

( ) x ax b

2 3

=

'

f x ( )

+ 2

ax b

  a

3 3

= + = = −

⇒ ⇒

'  

f b a b

3 0 2

0

 

4 2

   

a

3 27 27 1 27 3 1

= = + = + =

⇒ ⇒ ⇒

   

f b 3

a 4

b 2

 

   

a

3

4 32 64 32 4 2

+

 

b

 

4

Quindi : = −

 a 2

b

 =



 a 2

⇒

  =



b -1



 + =

 a b

3 4 2

Da cui : 3

( ) x

=

f x ( )

−

2x 1

( )

−

2

( ) x 4x 3

=

'

f x ( )

− 2

2x 1

3) ( )

f x

Studio della funzione :

 

1

∀ ∈  

x

Dominio : R -  

2

=

x: x

Intersezio

ne asse 0

=

Intersezio

ne asse y: y 0

  ( )

1

∀ ∈ + ∞ ∪ − ∞

 

Positività : x , ,

0

 

2 1

=

Asintoti verticali : x 2

3 3

x x

= +∞ = −∞

lim , lim

− −

+ −

2 x 1 2 x 1

1 1

→ →

x x

2 2

Non ci sono asintoti orizzontal

i ed obliqui

( )

−

2

( ) x 4 x 3 3

= > >

⇒<