Sessione ordinaria all’estero (Americhe) 2006
Soluzione a cura di Nicola De Rosa
Scientifico
Esame di Stato: indirizzo
Sessione ordinaria 2006
Seconda prova scritta
Tema di matematica
Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 dei 7 quesiti in cui si articola il questionario:
Problema 1
Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:
y = ax + b/x2,
dove a, b sono parametri reali.
a) Fra tali curve determinare quella che passa per i punti di coordinate (2,3) e (−2,5) e indicarla con γ.
b) Studiare la curva γ e disegnarne l’andamento, dopo aver trovato, in particolare, le coordinate del suo punto di minimo relativo e del suo flesso.
c) Calcolare l’area della regione piana delimitata dalla curva γ e dalla retta y = 5.
d) Utilizzando il disegno di γ, trovare quante soluzioni ammette l’equazione x3 − kx2 = 0, per −2 < x < 2, essendo k un parametro reale.
Problema 2
Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali Oxy, è assegnata la parabola p’ di equazione:
y = ax2,
dove a è un numero reale positivo assegnato.
a) Condotta una generica retta t per il fuoco F della parabola p’ e chiamato M il punto medio del segmento che p’ intercetta su t, trovare le funzioni x(k) e y(k) che forniscono, nell’ordine, l’ascissa e l’ordinata di M per mezzo della pendenza della retta t.
b) Considerate le equazioni x(k) e y(k) ed eliminato il parametro fra esse, si trova l’equazione di una seconda parabola p” (è chiamata luogo geometrico del punto M al variare di t nel fascio di centro F).
c) Calcolare l’area A della regione piana R delimitata dalle parabole p’ e p” e dalle rette di equazioni x = 0 ed x = 2a.
d) Trovare il valore di a per il quale l’area A è uguale a 13/24 e, in corrispondenza di tale valore, calcolare il volume del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all’asse y.
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Questionario
1) f(x) = x2
Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione sin 2.
2) Si consideri la seguente proposizione:
Condizione necessaria e sufficiente affinché due triangoli siano congruenti è che abbiano due lati congruenti e i seni degli angoli fra essi compresi uguali.
Dire se è vera o falsa e spiegare in modo esauriente la risposta data.
3) Si indichi con α l’angolo che una diagonale di un cubo forma con una faccia. La misura di α, espressa in radianti:
A è arcsin [3/3]; B è arccos [3/6]; C è arctan [6/3]; D un valore diverso.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.
4) Considerata l’equazione: x4 + x2 − 2 = 0, spiegare, con il metodo preferito ma in maniera esauriente, perché non può ammettere più di una soluzione razionale.
5) In un cono equilatero di apotema a inscrivere il cilindro circolare retto di volume massimo.
6) La funzione reale di variabile reale f(x) ammette derivata nulla in tutti i punti di un intervallo J, tranne che nel punto a di J, dove la funzione non è continua. Si può concludere che la funzione f(x) è costante in J? Fornire una spiegazione esauriente della risposta.
7) Si consideri il seguente limite:
limx → 0 (1 + x − 1/x)1/x2
Esso è uguale a:
A e1/2; B 1/e; C e2; D 1/e2;
dove “e” è il numero di Nepero.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.
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Problema 1
Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:
y = ax + b/x2,
dove a, b sono parametri reali.
Punto a
Fra tali curve determinare quella che passa per i punti di coordinate (2,3) e (−2,5) e indicarla con γ.
Il passaggio della curva per i punti (2,3) e (−2,5) comporta la risoluzione del sistema seguente:
4a + b/22 = 3
−4a + b/(−2)2 = 5
⇒ a = 1, b = −2
Per cui la curva richiesta è y = x − 2/x2.
Punto b
Studiare la curva γ e disegnarne l’andamento, dopo aver trovato, in particolare, le coordinate del suo punto di minimo relativo e del suo flesso.
Studiamo la funzione f(x) = x − 2/x2.
Dominio: R/{0}.
Intersezione asse delle ascisse: f(x) = 0 ⇒ x3 − 2 = 0 ⇒ A(∛2, 0).
Intersezioni asse delle ordinate: non ve ne sono;
Eventuali simmetrie: non è una funzione né pari né dispari;
Positività: f(x) > 0 la studiamo, risolvendo separatamente numeratore e denominatore:
N(x) = x3 − 2 > 0 ⇒ x > ∛2;
f(x) > 0 ⇒ x > 0 ∧ x > ∛2;
D(x) = x2 > 0 ⇒ x ≠ 0.
Asintoti verticali
limx → 0+ x3 − 2/x2 = −∞
⇒ x = 0 è asintoto verticale;
limx → 0− x3 − 2/x2 = −∞.
Asintoti orizzontali
limx → ±∞ x3 − 2/x2 = ±∞, per cui non ci sono asintoti orizzontali;
Asintoti obliqui
limx → +∞ f(x) = +∞
non ve ne sono in quanto;
limx → −∞ f(x) = −∞.
Crescenza e decrescenza
La derivata prima è
f’(x) = 1 + 4/x3 = x3 + 4/x3.
f’(x) > 0 ⇒ x ∈ (−∛4, 0) ∪ (0, +∞), quindi la funzione è strettamente crescente in (−∛4, 0) ∪ (0, +∞) e strettamente decrescente altrove.
Concavità e convessità
La derivata seconda è f’’(x) = −12/x4.
La funzione presenta eventuali flessi a tangente obliqua nelle ascisse dei punti che annullano il numeratore della derivata seconda. Il numeratore N(x) = −12 non si annulla, per cui non presenta flessi a tangente obliqua.
Inoltre f’(−1) = 6 > 0, per cui (−1,3) è un minimo relativo.
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