2002 - Liceo scientifico di ordinamento - sessione suppletiva problema 1

Soluzione di De Rosa Nicola

a)

( )

−

2

La divisione tra due polinomi, nel nostro caso f(x) ed x 1, può essere sempre ricondotta ad una equazione del tipo:

( )

( ) ( ) ( )

= − +

2

f x x 1 * Q x R x

( ) ( ) ( ) ( )

= =

dove Q x è il quoziente ed R x è il resto. Nel nostro caso Q x R x x per cui

( ) = 3

f x x

b) Studio di y

3

x

=

Studio di y −

2

x 1 ( ) ( ) ( )

∀ ∈ − ≠ → ≠ ± − ∞ − ∪ − ∪ +∞

2

Dominio: x R | x 1 0 x 1 cioè il dominio risulta essere , 1 1

,

1 1

,

3

x

= = → =

Intersezione asse x: y 0 x 0

−

2

x 1

= → =

Intersezione asse y: x 0 y 0

3

x >

Positività: 0 la si risolve col metodo del falso sistema, studiando separatamente numeratore e denominatore

( ) ( )

= > → > = − > → < − ∪ >

3 2

In tal caso N x x 0 x 0 mentre D x x 1 0 x 1 x 1

Per cui mettendo i risultati sulla stessa retta dei reali

3 ( ) ( )

x > → ∈ − ∪ +∞

Otteniamo che 0 x 1

, 0 1

,

−

2

x 1

= ±

Asintoti verticali

Asintoti verticali: x 1

Infatti: 3 3

x 1 x 1

= = +∞ = = −∞

lim, lim

+ −

− −

2 2

+ −

→ →

x 1 0 x 1 0

1 1

x x

− −

3 3

x 1 x 1

= = +∞ = = −∞

lim, lim

− +

− −

2 2

+ −

→ − → −

x 1 0 x 1 0

x 1 x 1

Asintoti orizzontali

Asintoti orizzontali: non ce ne sono perché

3 3

x x

= +∞ = −∞

lim, lim

− −

→ +∞ → −∞

x 1 x 1

x x

Asintoti obliqui

Asintoti obliqui:

= +

y mx q 3

x 3

− x

2

x 1

= = =

m lim lim 1

−

3

→ ±∞ → ±∞

x x x

x x

 

3

x x

= − = =

 

q x

lim lim 0

 

− −

2 2

→ ±∞ → ±∞

 

x x

1 1

x x

=

Per cui y x è asintoto obliquo doppio

Crescenza e decrescenza

Crescenza e decrescenza:

( ) ( )

− − −

2 2 3 2 2

( ) 3 x * x 1 x * 2 x x x 3

= =

I

y x ( ) ( )

2 2

− −

2 2

x 1 x 1