2007 - Liceo scientifico PNI

Sessione ordinaria 2007

Seconda prova scritta

Y557 - Esame di Stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Piano nazionale informatica

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

Problema 1

Sia a un numero reale maggiore di zero e sia g la funzione definita, per ogni x ∈ R, da:

g ( x ) = a^x + a^−x, a ≠ 1.

1. Si dimostri che, se a ≠ 1, g è strettamente crescente per x > 0 e strettamente decrescente per x < 0.

2. Posto a = e, si disegni il grafico della funzione f ( x ) = e^x + e^−x e si disegni altresì il grafico della funzione

f ( x ) = 1 / (e^x + e^−x).

3. Si calcoli ∫_t^∞ dx / f ( x ); successivamente, se ne trovi il limite per t → 0 e si interpreti geometricamente il risultato.

4. Verificato che il risultato del limite di cui al punto precedente è π / 4, si illustri una procedura numerica che consenta di approssimare tale valore.

Problema 2

Si considerino i triangoli la cui base è AB = 1 e il cui vertice C varia in modo che l’angolo ACB si mantenga doppio dell’angolo BAC.

1. Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l’equazione del luogo geometrico γ descritto da C.

2. Si rappresenti γ, tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche.

3. Si determini l’ampiezza dell’angolo ÂBC che rende massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati AC e BC e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato in gradi e primi (sessagesimali).

4. Si provi che se ÂBC = 36° allora è AC = (5 − 1) / 2.

Sessione ordinaria 2007

Seconda prova scritta

Y557 - Esame di Stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Piano nazionale informatica

Matematica

Tema di:

Questionario

1. Si spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tratti di un problema risolubile o meno.

2. La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione y = ln x e l’asse x, con 1 ≤ x ≤ e, è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssimato a meno di 10⁻².

3. Si dimostri che l’insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo.

4. Si consideri la funzione:

f ( x ) = 1 / (σ√(2π)) e^{−(x − μ)2 / (2σ2)}

Se ne spieghi l’importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di μ, σ, e come tali parametri influenzino il grafico di f(x).

5. Si consideri il teorema: «La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto» e si spieghi perché esso non è valido in un contesto di geometria non-euclidea. Quali le formulazioni nella geometria iperbolica e in quella ellittica? Si accompagni la spiegazione con il disegno.

6. Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.

7. Si determini l’equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla parabola y = x² + 1 nel punto (1, 2).

8. Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare».

9. Si dimostri che l’equazione 2x³ − 3x² + 6x − 6 = 0 ha un’unica radice reale e si trovi il suo valore con una precisione di due cifre significative.

10. Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e a paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo che la Terra sia una sfera S e che l’asse di rotazione terrestre sia una retta r passante per il centro di S, come si può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate geografiche terrestri?

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Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

Nicola De Rosa Liceo scientifico PNI 2007

Soluzione

1)

g ( x ) = a^x + a^−x, ∀ x ∈ R − {0}, ∀ a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

La funzione g ( x ) = a^x + a^−x, e ∀ x ∈ R, è una funzione pari, continua, derivabile e sempre positiva, che non interseca mai l’asse delle ascisse, interseca quello delle ordinate in (0, 2) e che non presenta asintoti, né verticali, né orizzontali, né obliqui.

Gli asintoti verticali non si presentano visto che il dominio è l’intero asse reale; gli asintoti orizzontali nemmeno esistono perché lim_{x → ±∞} [a^x + a^−x] = +∞, ∀ a ≠ 1. Gli asintoti obliqui nemmeno esistono perché lim_{x → ±∞} [a^x + a^−x − x] = +∞, ∀ a ≠ 1.

Per la crescenza e decrescenza vanno distinti i due casi:

• a ∈ (0, 1);
• a ∈ (1, +∞).

Caso: a ∈ (0, 1)

g′( x ) = ln( a ) [a^x − a^−x].

In questo caso essendo a ∈ (0, 1), allora ln( a ) < 0, per cui

g′( x ) = ln( a ) [a^x − a^−x] > 0 ⇔ a^x − a^−x < 0 ⇔ a^x < a^−x.

Ora ricordando che nel caso di disequazioni esponenziali, se la base è un numero appartenente all’intervallo (0, 1), il verso della disequazione cambia, allora si ha:

a^x < a^−x ⇔ x > −x → x > 0.

Quindi per la funzione a ∈ (0, 1) è strettamente crescente in (0, +∞) e strettamente decrescente in (−∞, 0).

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Caso: a ∈ (1, +∞)

g′( x ) = ln( a ) [a^x − a^−x].

In questo caso essendo a ∈ (1, +∞), allora ln( a ) > 0, per cui

g′( x ) = ln( a ) [a^x − a^−x] > 0 ⇔ a^x − a^−x > 0 ⇔ a^x > a^−x.

Ora ricordando che nel caso di disequazioni esponenziali, se la base è un numero appartenente all’intervallo (1, +∞), il verso della disequazione non cambia, allora si ha:

a^x > a^−x ⇔ x > −x → x > 0.

Quindi per la funzione a ∈ (1, +∞) è strettamente crescente in (0, +∞) e strettamente decrescente in (−∞, 0).

Quindi abbiamo dimostrato che ∀ a ≠ 1 la funzione g ( x ) = a^x + a^−x è strettamente crescente in (0, +∞) e strettamente decrescente in (−∞, 0).

Inoltre g (0) = 2, g′( x ) = ln( a ) [a^x − a^−x] = 0, ∀ x ∈ R, per cui la funzione in esame presenta un minimo relativo ed assoluto nel punto (0, 2) e presenta concavità sempre rivolta verso l’alto.

2)

La funzione da discutere è y = f ( x ) = e^x + e^−x. Questa funzione appartiene alla casistica dei casi a ∈ (1, +∞). Le proprietà di una siffatta funzione sono state prima evidenziate, per cui il grafico è immediato ed è di seguito riportato:

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Sia ora h ( x ) = 1 / f ( x ) = 1 / (e^x + e^−x) = e^x / (e^2x + 1).

Questa funzione, come la sua reciproca, è definita e continua su tutto l’asse reale, non interseca mai l’asse delle ascisse, interseca quello delle ordinate in (0, 1/2), è sempre positiva, non presenta asintoti, né verticali, né obliqui.

Gli asintoti verticali non si presentano visto che il dominio è l’intero asse reale; gli asintoti orizzontali esistono ed in realtà a destra e sinistra coincidono. Infatti lim_{x → ±∞} [e^x / (e^2x + 1)] = 0, per cui l’asintoto orizzontale destro e sinistro è la retta coincidente con l’asse delle ascisse, cioè y = 0.

Vediamo ora la crescenza e decrescenza:

h′( x ) = (e^−x − e^x) / (e^x + e^−x)².

(e^−x − e^x) > 0 ⇔ e^−x > e^x ⇔ −x > x ⇔ x < 0.

Cioè la funzione è strettamente crescente nell’intervallo (−∞, 0) e strettamente decrescente nell’intervallo (0, +∞) ed in (0, 1/2) assume un massimo relativo ed assoluto.

Rappresentiamo i grafici di y = f ( x ) = e^x + e^−x ed h ( x ) = 1 / f ( x ) = e^x / (e^2x + 1) in un unico sistema di riferimento:

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