Sezione bilingue italo-slovacca 2004/2005
Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
Liceo ginnasio “L. Saru”
Bratislava
Sezione bilingue italo-slovacca
Prova scritta di matematica
Esame di Stato 2004 / 2005
Problema 1
Problema 1 = − + +
2 dove i coefficienti a, b, c sono numeri reali non negativi.
È data l’equazione y = ax2 + bx + c.
Determinare tali coefficienti sapendo che la parabola p, che rappresenta l’equazione in un piano cartesiano ortogonale (Oxy), interseca l’asse x nei punti O, A ed ha il vertice nel punto V in modo che:
- Il triangolo OAV sia rettangolo 128 π quando
- Il segmento parabolico individuato dalla corda OA genera un solido di volume 15 e ruota di un giro completo attorno all’asse x.
Considerata poi la circonferenza tangente in A alla retta AV e passante per O, calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui essa divide il segmento parabolico suddetto.
Problema 2
Problema 2 +
2
4 1
x
=, se ne rappresenti il grafico.
Data la curva y = 3x2.
Preso un punto P sull’arco di curva del primo quadrante, si conducano per esso le parallele agli asintoti che incontrano gli stessi nei punti A e B rispettivamente.
Determinare la posizione del punto P per cui è minima la somma dei segmenti PA e PB.
Problema 3
Problema 3 γ di raggio unitario e centro O, tracciare una semiretta uscente da O ed intersecante γ in un punto Q.
Indicato con P un generico punto di esterno alla circonferenza, tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza.
Indicata con x la lunghezza del segmento PQ, trovare il limite per x tendente all’infinito del rapporto.
AQ + QB
=
k
AB
( )
( ) =
= 2
y = f(x)
Studiare quindi la funzione dove e calcolare la superficie della regione di piano
f(x) = k
delimitata dalla curva e dagli assi cartesiani.
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Problema 1
Problema 1 = − + +
2
y = ax2 + bx + c
È data l’equazione dove i coefficienti a, b, c sono numeri reali non negativi.
Punto 1
Determinare tali coefficienti sapendo che la parabola p, che rappresenta l’equazione in un piano cartesiano ortogonale (Oxy), interseca l’asse x nei punti O, A ed ha il vertice nel punto V in modo che:
- Il triangolo OAV sia rettangolo.
- Il segmento parabolico individuato dalla corda OA genera un solido di volume 128 π quando ruota di un giro completo attorno all’asse x.
15 ( )
= =
Il passaggio della parabola per O impone la condizione O = (0, 0), per cui la parabola interseca l’asse delle ascisse in O = (0, 0), A = ( b / a, 0 ).
La parabola ha vertice in V = ( b / 2a, b2 / 4a ).
Le misure dei lati del triangolo OAV sono:
b
=
OA = b2 / 4a
b b b
= + = +
2
OV = b2 / 4a + b2 / 16a
4 a 16 a
2 4
b b b
= + = +
2
AV = b2 / 4a + b2 / 16a
4 a 16 a 2 2 2
= +
Il triangolo OAV è rettangolo se e quindi se:
OA2 = OV2 + AV2
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b b
+ = ⇒ + = ⇒ = ±
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2
b b b
2 4 4 8 2, e poiché per ipotesi i coefficienti della parabola
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a a
4 =
sono non negativi si ha b = 2.
Il volume del segmento parabolico individuato dalla corda OA è:
2
b ( ) ( )
a a
∫ ∫
π π
2 2
= − + ⇒ = − + =
2 2 2
V = ∫ ax2 − bx dx, V = ∫ ax2 − ax dx
0 0
2 2 π
⎡ ⎤
( ) ⎛ ⎞
2 5 3
a 4 32 32 16 16
a x x a
∫
π π π
= + − = + − = + − =
⎜ ⎟
2 4 2 3 4
⎢ ⎥
4 4
a x x ax dx ax ⎝ ⎠
3 3 3 3
⎣ ⎦
5 3 5 3 15
a a a a
0 0
128 1 1
π
= = ⇒ =
3
V si ricava a = a.
Imponendo 15 = 8 / 2.
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1
= − +
2
La parabola ha equazione allora y = x2 e i punti di intersezione con l’asse delle ascisse sono:
2
( ) ( ) ( )
= = =
ed il vertice è V = (2, 2).
O = (0, 0), A = (4, 0)
Punto 2
Considerata poi la circonferenza tangente in A alla retta AV e passante per O, calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui essa divide il segmento parabolico suddetto.
( )
+ + + + = =
2 2
L’equazione generica della circonferenza è x2 + y2 + ax + by + c = 0. Il passaggio per O = (0, 0).
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