2000 - liceo scientifico sperimentale, sessione ordinaria

Sessione ordinaria Sperimentazioni Autonome 2000 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Esame di stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Tema di: Matematica e informatica

1. Il candidato dopo aver dato una giustificazione della formula d’integrazione per parti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

= −

f x g ' x dx f x g x f ' x g x dx 1

dica cosa c’è di sbagliato nel ragionamento seguente:

sia da calcolare 1

∫ dx

x

( ) ( )

1

= =

g ' x 1

f x e , otteniamo:

applicando la (1) con x ⎛ ⎞

1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

= · · = · − − · = +

⎜⎝ ⎟

dx 1 dx x xdx 1 dx

⎠

2

x x x x

x

1

∫ =

da cui, eliminando da ambo i membri, segue:

dx .

0 1

x

Successivamente applichi la (1) per calcolare l’integrale definito:

( )

1

∫ + +

x 2

e x x 1 dx

0

Il candidato affronti le seguenti questioni:

• Fra tutti i cilindri iscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte dell’altezza del cono.
• Dopo averlo esposto applicare il teorema di de L’Hôpital per dimostrare che, per n finito,

n

x =

∈ , si ha: lim 0 ;

n N x

→ +∞ 2

x

• Esporre una strategia numerica per il calcolo approssimato di log2.

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Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y) si consideri la

3. curva g di equazione: 5

= + −

2

sin sin

y a x b x 2 π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

· Si determinino i coefficienti a e b affinché g abbia un flesso nel punto;

,

0

⎝ ⎠

6 [ ]

π

· Si disegni il grafico della curva, per i valori di a e di b così trovati, nell’intervallo;

0

, 2

· Si determini l’area della regione limitata dalla curva, dall’asse x e dalle rette:

π π

5

= =

e

x x

6 6 π.

Infine, si esponga un algoritmo per il calcolo approssimato di

Durata massima della prova: 6 ore

E’ consentito l’uso della calcolatrice scientifica non grafica

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

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Problema 1

Punto 1

Il candidato dopo aver dato una giustificazione della formula d’integrazione per parti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

= −

f x g x dx f x g x f x g x dx

' ' 1

dica cosa c’è di sbagliato nel ragionamento seguente:

sia da calcolare 1

∫ dx

x

( ) ( )

1

= =

f x

applicando la (1) con e, otteniamo:

g ' x 1

x ⎛ ⎞

1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

· = +

= · · = · − −

⎜⎝ ⎟

dx dx x xdx dx

1 1

⎠

2

x x x x

x

1

∫ =

dx da ambo i membri, segue: .

da cui, eliminando 0 1

x

Il metodo di integrazione per parti deriva direttamente dalla formula di derivazione del prodotto:

( )

· = · + ·

f g ' f ' g f g '

Integrando ambo i membri si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

· = · + · ⇒ · = · + · ⇒ · = · − ·

f g ' dx f ' g dx f g ' dx f g f ' g dx f g ' dx f g ' dx f g f ' g dx

1

∫ dx di cui sopra, c’è un errore di fondo in quanto si omette la

Nel ragionamento relativo a x ( ) ( )

proprietà delle primitive di una stessa funzione di differire per una costante. Infatti siano f x, g x

1

∫ dx che differiscono per una costante e posto

due primitive di x

( ) ( )

1 1

∫ ∫

= = + = = + ≠

f x dx ln x h

, g x dx ln x k con h k, seguendo il ragionamento fatto sopra si

x x

ha ⎛ ⎞

1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

= · · = · − − · = + ⇒

⎜⎝ ⎟

dx 1 dx x xdx 1 dx

⎠

2

x x x x

x

+ +

ln x h ln x k

⇒ + = + + ⇒ − =

ln x h 1 ln x k h k 1

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cioè le costanti per le quali differiscono le primitive, differiscono tra di loro di una unità, cosa ben

= =

0 1 0 1

. In altri modi l’equazione impossibile la si ottiene

diversa dall’equazione impossibile

partendo dal presupposto che la primitiva di una funzione sia unica e quindi negando che esistono

infinite primitive che differiscono per una costante.

Punto 2

Successivamente applichi la (1) per calcolare l’integrale definito:

( )

1

∫ + +

x 2

e x x 1 dx

0 ( ) ( ) ( )

∫ + + = = + +

x 2 x 2

e x x 1 dx scegliendo g ' x e, f x x x 1.

Calcoliamo prima l’integrale indefinito

Si ha:

( ) ( ) Riapplicando l'integrazione per parti

( ) ( )

∫ ∫ +

+ + = + + − + ⎯

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯

→

x

∫

a 2 x 1 e dx

2 2

x x x

e x x 1 dx e x x 1 2 x 1 e dx

( ) ( ) ( )

∫ ∫

+ + = + + − + + =

x 2 x 2 x x

e x x 1 dx e x x 1 2 x 1 e 2 e dx

( ) ( )

( )

= + + − + + + = − + +

x 2 x x x 2

e x x 1 2 x 1 e 2 e k e x x 2 k

[ ]

( ) ( )

1 ( )

∫ 1

+ + = − + = −

2 2

x x

Quindi.

e x x 1 dx e x x 2 2 e 2

0

0

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Problema 2

Il candidato affronti le seguenti questioni:

Punto 1