Sessione ordinaria 2002/2003 – Liceo di Ordinamento
Soluzione di De Rosa Nicola
Maturità scientifica 2002-03
Sessione ordinaria
Tempo concesso: 5 ore
La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a cinque domande scelte all’interno del questionario.
Problema 1
Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.
(a) Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.
(b) Considerato il tetraedro regolare T’ avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli spigoli di T e T’ e il rapporto fra i volumi di T e T’.
(c) Condotto un piano α contenente la retta AB e perpendicolare alla retta CD nel punto E e posto che uno spigolo di T sia lungo s, calcolare la distanza di E dalla retta AB.
(d) Considerata nel piano α la parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti A, B ed E, riferire questo piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali e trovare l’equazione di p.
(e) Determinare per quale valore di s la regione piana determinata dalla parabola e dalla retta EA ha area 3 cm2.
Problema 2
È assegnata la funzione
f(x) = x2 + 1 / x2 + m
dove m è un parametro reale.
(a) Determinare il suo dominio di derivabilità.
(b) Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che risulti nulla per x = 1.
(c) Studiare la funzione corrispondente al valore di m così trovato e disegnare il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), dopo avere stabilito quanti sono esattamente i flessi di f(x) ed avere fornito una spiegazione esauriente di ciò.
(d) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dal grafico, dall’asse x e dalla retta di equazione x = 1.
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Questionario
Dopo avere fornito una definizione di rette sghembe, si consideri la seguente proposizione:
1. «Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe». Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
2. Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.
3. Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può accedere in alcun modo, così da impedire la misura diretta della distanza AB. Dal punto A si può però accedere al punto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B in modo che, pure rimanendo impossibile misurare direttamente la distanza PB, è tuttavia possibile misurare la distanza AP. Disponendo degli strumenti di misura necessari e sapendo che P non è allineato con A e con B, spiegare come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare la distanza AB.
[ ]
f(x) = log (x − 1) (x − 1) è l’insieme degli x reali tali che:
4.
- (A) −4 < x ≤ 1
- (B) −1 ≤ x < 3
- (C) 0 < x ≤ 3
- (D) 0 ≤ x < 3
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta effettuata.
5. La funzione f(x) = 2x3 − 3x2 + 2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.
La derivata della funzione
f(x) = ∫0x2 e−t dt = 4xe−x2
è la funzione. Eseguire tutti i passaggi necessari a giustificare l’affermazione.
6.
Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1: 1, 2, 3, …, n − 1, n, moltiplicarli combinandoli in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta uguale a:
- (A) n2(n + 1)2 / 4
- (B) n2(n − 1)2 / 4
- (C) n(n + 1)(n + 2) / 3
- (D) n2(n − 1) / 3
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.
7.
x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x3 − y3 = 2. Il numero x − y:
- (A) È divisibile per 2 e per 3.
- (B) È divisibile per 2 ma non per 3.
- (C) È divisibile per 3 ma non per 2.
- (D) Non è divisibile né per 2 né per 3.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.
Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.
8.
Il valore dell’espressione log2 3 · log3 2 è 1. Dire se questa affermazione è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
9.
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Problema 1
Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.
Punto (a)
Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.
Si consideri la figura seguente:
Le facce del tetraedro sono triangoli equilateri, per cui le altezze AK e DK sono anche mediane e bisettrici. Indicato con s lo spigolo del tetraedro T se ne deduce che:
DK = AK = 3s / 2
AH = AK = s√3 / 3
HK = AK / 3 = s√3 / 6
DH = DK − HK = s√3 / 2 − s√3 / 6 = s√3 / 3
Il volume del tetraedro sarà allora
V = 1/3 · SABC · DH = 1/3 · (s2√3 / 4) · (s√3 / 3) = s3√2 / 12
e la superficie totale
S = 4 · SABC = 4 · (s2√3 / 4) = s2√3.
Ricordando che il punto di incontro delle tre altezze del tetraedro è il centro della sfera inscritta, si ha OH = OP = r.
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