Esame di stato 2003 del liceo scientifico: Analisi delle soluzioni e considerazioni

Esame di stato di liceo scientifico, corso di ordinamento 2003

Marcello Pedone

Soluzioni e commenti

Premesse

Da premettere che la nuova tipologia dell’esame di stato e della prova di matematica, sono segni evidenti di rinnovamento della didattica e dei curricula.

La prova scritta di matematica, nella sua tradizionale formulazione, aleatoria nei contenuti e, talvolta, oscura nella forma, sembrava una prova di controllo del lavoro degli insegnanti piuttosto che degli studenti.

Le prove delle ultime sessioni dell’esame “tradizionale” erano particolarmente incentrate su problemi di analisi anche molto approfonditi, conseguentemente il lavoro in classe ha subito una accelerazione in tal senso lasciando ovviamente scoperti altri settori di un programma ministeriale ormai sorpassato nei contenuti e troppo aleatorio nella formulazione.

Però c’è da tenere conto che la vasta gamma di argomenti in programma non consente un approfondimento altrettanto consistente.

Complessivamente il compito non è né facile né banale. I due problemi non sono particolarmente originali, ma neanche scontati. I calcoli non sono pesanti.

I punti, in cui i problemi sono articolati, permettono allo studente di utilizzare le conoscenze acquisite negli ultimi anni.

Il primo problema è stato scelto da una minoranza di candidati perché la parte geometrica richiedeva figure piuttosto complesse, soprattutto se si tiene conto del fatto che l’intuizione spaziale non è abbastanza curata nella scuola superiore.

I quesiti sono molto disomogenei e quindi risultano difficili da valutare: in particolare basta confrontare i quesiti 1 e 7.

Così come è strutturata, la prova offre al candidato le più ampie opportunità di esprimere conoscenze, competenze e capacità acquisite nel corso degli studi in quanto i quesiti del questionario sono differenziati per grado di difficoltà e di tipologia, a parità di punteggio valutativo. Però c’è da tener conto che una marcata disparità nella difficoltà dei quesiti può suscitare controversie all’interno di una stessa commissione oppure che la difficoltà nel giudizio possa condurre commissioni diverse a misurazioni anche profondamente diverse. Inoltre si dovrebbero valutare anche esercizi svolti in modo non completo.

Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 113

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

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Sicuramente uno studente che abbia risolto, come richiesto, almeno un problema e abbia risposto correttamente a cinque quesiti, ha delle buone competenze matematiche.

Tuttavia:

• In generale si richiede come al solito poco lavoro di sintesi: buona conoscenza di formule ma ¾ non necessariamente del loro significato.
• Si insiste ancora troppo sui calcoli, che spesso appaiono artificiosi.
• La parte geometrica richiede spesso figure troppo complicate, soprattutto se si tiene conto del fatto che l’intuizione spaziale non è abbastanza curata nella scuola superiore.

Problema 1

Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.

a) Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.

b) Considerato il tetraedro regolare T’ avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli spigoli di T e T’ e il rapporto fra i volumi di T e T’.

α,

c) Condotto il piano contenente la retta AB e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e posto che uno spigolo di T sia lungo s, calcolare la distanza di E dalla retta AB.

α

d) Considerata nel piano la parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti A, B ed E, riferire questo piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali e trovare l’equazione di p.

e) Determinare per quale valore di s la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta 2 2 cm.

EA ha area 3

Commento

Il problema è stato svolto da una minoranza di candidati perché la parte geometrica richiedeva figure piuttosto complesse. Il problema già dall’inizio (punto a) presentava delle figure geometriche solide (il tetraedro e la sfera), per questo è stato affrontato da pochi candidati. In realtà, come si vede dalla soluzione, con una buona conoscenza della geometria solida e delle conoscenze acquisite negli ultimi anni, il problema risultava di normale difficoltà *

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Soluzione

Punto a

Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.

Sia P il punto di incontro del tetraedro che è centro della sfera inscritta e di quella circoscritta; il modo più semplice per trovare la relazione richiesta è quello di considerare il tetraedro scomposto in quattro piramidi, ognuna delle quali ha come base una faccia del tetraedro, vertice P e altezza r (vedi figura).

.

Si ha 1 S 1

= · · · =

V 4 r Sr

3 4 3

Si può risolvere il problema con delle considerazioni geometriche che saranno utili nel seguito.

Considerando la figura, detta K l’intersezione delle altezze della faccia ABC, O il centro della sfera inscritta e T il punto di tangenza tra la sfera e la faccia AB; tenendo conto che le facce del tetraedro sono dei triangoli equilateri e che il triangolo DKH è rettangolo si ottiene

* In collaborazione con il prof. Giovanni Valentini, Liceo Scientifico A. Einstein di Teramo.

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3

= ·

DH AB altezza del triangolo equilatero

2

3

= ·

KH AB cioè 1/3 dell’altezza del triangolo equilatero

6

2

= ·

KD AB si ottiene applicando il teorema di Pitagora al triangolo DOH.

3 =

r OT

Per determinare il raggio si può usare la similitudine dei triangoli KDH e ODT:

( )

= ⇒ = − ⇒

OT : KH OD : DH r : KH KD r : DH

·

KH KD

· = · − · ⇒ = =

r DH KH KD KH r OT r +

DH KH

6 12

= · ⇒ =

r AB AB r

sostituendo i valori precedentemente trovati si ha .

12 6

2 2 12

= · = · = 4

KD AB r r

Quindi 3 3 6 1

S KD V

= · = · · ⇒ = ·

3

V r S r

Il volume del tetraedro è uguale a 4 3 3 S

Punto b

Considerato il tetraedro regolare T’ avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli spigoli di T e T’ e il rapporto fra i volumi di T e T’.

La sfera inscritta al tetraedro T coincide con la sfera circoscritta al tetraedro T’ e quindi il rapporto tra gli spigoli di T e T’ è uguale al rapporto tra il raggio (r’) della sfera circoscritta a T e di quello della sfera circoscritta a T’ che è la sfera inscritta in T.

Tenendo conto dei risultati del quesito precedente si ha:

6 6

= = · = ·

KO r AB

; DK AB

12 3

6 6 6

= = − = · − · = ·

r ’ DO DK OK AB AB AB

3 12 4

Il rapporto degli spigoli sarà uguale al rapporto dei raggi, cioè:

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6

r ’ 4

= = 3

r 6

12

Per la similitudine di T e T’, il rapporto tra i volumi sarà uguale al cubo del rapporto degli spigoli e quindi: 3

 

V r ’

= = =

3

3 27

 

V ’ r

 