Matematica (3814)

Esame di Stato di liceo scientifico - 2003

Corso di ordinamento

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.

a.

Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.

b.

Considerato il tetraedro regolare T’ avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli spigoli di T e T’ e il rapporto fra i volumi di T e T’.

c.

Condotto il piano a, contenente la retta AB e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e posto che uno spigolo di T sia lungo s, calcolare la distanza di E dalla retta AB.

d.

Considerata nel piano a la parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti A, B ed E, riferire questo piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali e trovare l’equazione di p.

e.

Determinare per quale valore di s la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta EA ha area

Problema 2

È assegnata la funzione

dove m è un parametro reale.

1. Determinare il suo dominio di derivabilità.

2. Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che risulti nulla per x = 1.

Studiare la funzione f(x) corrispondente al valore di m così trovato e disegnarne il grafico g in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), dopo aver stabilito quanti sono esattamente i flessi di g ed aver fornito una spiegazione esauriente di ciò.

Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dal grafico g, dall’asse x e dalla retta di equazione x = 1.

Questionario

1.

Dopo aver fornito la definizione di “rette sghembe”, si consideri la seguente proposizione:

“Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe”. Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

2.

Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.

3.

Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può accedere in alcun modo, così da impedire una misura diretta della distanza AB.