Quesito 3 della maturità 1998/1999 svolto
Da De Rosa Nicola
Soluzione
Disegno illustrativo: Q
D C
T P
0
45 -x 0
45 -x
x x B
A
1)
Per le proprietà delle tangenti condotte ad una circonferenza si hanno tali uguaglianze:
π π
−
2 2 x
= = = = = = = −
TP PB, DQ QT, T Â
P P Â
B x , D
Â
Q Q
Â
T x
2 4
Per cui : ( ) ( ( )
) ( ( )
)
= = − = −
⇒
PB AB
tg x CP AB 1 tg x AT 1 tg x
π π π
= − = − − = − −
⇒
DQ AD
tg x CQ AD 1 tg x AT 1 tg x
4 4 4
Da cui : +
( ) ( )
CP CQ π π
= = − − − ∈
f x 2 tg x tg x x 0,
AT 4 4
2)
Studio della funzione ottenuta:
π
∀ ∈
La funzione è definita x 0 ,
4
π
( ) = =
f 0 f 1
4
( ) ( )
π π
∀ ∈ + −
f x è positiva x 0 , visto che tg x tg x nel suddetto intervallo assume come valore massimo 1
4 4
Non ci sono asintoti verticali, orizzontali ed obliqui
( ) π
− −
2 2
cos x cos x
( ) 4
=
'
f x
( ) π −
2 2
cos x cos x
4
( ) ( ) π
> ⇔ > −
' 2 2
f x 0 cos x cos x e visto che la funzione coseno(e a maggior ragione il suo quadrato)
4
è decrescente nell'intervallo considerato, allora dire
π
( ) π π
> − ⇔ < − ⇔ <
2 2
cos x cos x x x x
4 4 8
π π π
< = −
⇒
"
Inoltre f 0 x è l'ascissa del massimo. Per cui , 4 2 2 è il punto di massimo
8 8 8
Il grafico è sotto rappresentato:
= − − − +
@ D @ ê D
y 2 Tg x Tg x Pi 4
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2 x
π π π
π
3
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