1992 - problema 3 ordinamento

Sessione ordinaria 1992: liceo scientifico di ordinamento

γ

3) Data una circonferenza di raggio unitario e centro O, tracciare una semiretta s uscente da O

γ γ,

ed intersecante in un punto Q. Indicato con P un generico punto di s esterno alla circonferenza,

tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la

+

AQ QB

=

lunghezza del segmento PQ, trovare il limite per x tendente ad infinito del rapporto.

k AB

Studiare quindi la funzione y = f(x), dove f(x) = k, e calcolare la superficie della regione di piano

2

delimitata dalla curva e dagli assi cartesiani.

Soluzione di De Rosa Nicola

La situazione descritta nella traccia è rappresentata nella figura sottostante:

Per la simmetria della figura si ha innanzitutto AQ = QB.

Determiniamo innanzitutto l’altezza AH del triangolo rettangolo OAP. Prima di fare ciò calcoliamo

innanzitutto AP.

= − = + − = +

2

2 2 2

AP OP OA 1 x 1 x 2 x

Ora l’area del triangolo OAP la si può esprimere in due modi:

+

2

OA * AP OP * AH OA * AP x 2 x

= = = =

⇒

AREA AH +

2 2 OP 1 x

+

2

2 x 2 x

= =

AB 2 AH

Per cui +

1 x ( )

2

+ + +

2 2 2

2 2 2

x x x x x x

= − = + − = =

2 2 2

Ora 2 per cui

PH AP AH x x ( ) ( ) +

+ +

2 2 1 x

1 1

x x

+

2 2

x x x

= − = − = da cui