1993 - Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria completa

Sessione ordinaria 1993 Liceo Scientifico di ordinamento De Rosa Nicola

≤

1) La funzione f(x) sia rappresentata per x 1 da y = -3x + Hx e per x > 1 da y = K/x .

2 2

Determinare le costanti H e K in modo che la funzione y = f(x) e la sua derivata siano continue

in x = 1. Rappresentare la funzione così trovata e calcolarne l'integrale definito tra 0 e +∞.

La funzione f(x) e la sua derivata sono rispettivamente: ≤

⎧ − x 1

2

Hx 3 x

⎪

( ) = ⎨

f x K

⎪ >

⎩ 2 x 1

x ≤

−

⎧ x 1

H x

6

⎪

( ) =

I ⎨

f x K

2

−

⎪⎩ >

x 1

x

Ora la continuità in x=1 impone che:

( ) ( )

− +

= ⇒ − = ⇔ − =

f 1 f 1 H 3 K H K 3

Mentre la continuità della derivata in x=1 impone:

( ) ( )

− +

= ⇒ − = − ⇔ + =

I I

f 1 f 1 H 6 2 K H 2 K 6

Va risolto allora il sistema seguente: − = =

⎧ ⎧

H K 3 H 4

⇒

⎨ ⎨

+ = =

⎩ ⎩

H 2 K 6 K 1

Da cui ≤

⎧ − x 1

2

4 x 3 x

⎪

( ) = ⎨

f x 1

⎪ >

⎩ 2 x 1

x ⎛ ⎞

2 4

=

≤ ⎜ ⎟

V , che interseca l’asse delle ascisse in

Ora per abbiamo una parabola con vertice in

x 1 ⎝ ⎠

3 3

⎛ ⎞

( ) 4

⎜ ⎟

e .

,

0

0

,

0 ⎝ ⎠

3 1

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>

x 1

Per abbiamo una funzione decrescente, che non interseca l’asse delle ascisse e che tende a

→ +∞

x

zero per

Rappresentiamo allora il grafico della funzione di interesse:

Calcoliamo ora l’integrale: +∞

+∞ +∞ [ ]

( ) ⎤

⎡

1

( ) 1 1

∫ ∫ ∫ 1 =

= = − + = − + −

2 2 3

4 3 2

I f x dx x x dx dx x x ⎥

⎢

0 ⎦

⎣

2 x

x 1

0 0 1

( )

− − − =

2 1 1 2 2

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γ

2) Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O, tracciare la circonferenza di

θ

raggio unitario e centro O. Detto punto A il punto di coordinate (1, 0), indicare con l'angolo

formato da una generica semiretta uscente dall'origine con il semiasse positivo delle x e con P

^

γ θ θ

il punto in cui tale semiretta interseca ( = ). Determinare in funzione di l'ordinata y

POA =

PQ 2

del punto Q appartenente al semiasse positivo delle y tale che . Descrivere - limitandosi

θ γ

all'uso della derivata prima - la funzione y = f( ) trovata. Se P ruota sulla circonferenza con

velocità angolare costante, il moto di Q quali caratteristiche presenta? Negli istanti in cui