1998 - Liceo scientifico di ordinamento - tema completo

Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola

1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono

assegnate le curve di equazione: = + +

3

y ax 3 x b ,

dove a, b sono parametri reali con a≠0.

a) Determinare i valori di a per i quali queste curve hanno un punto di massimo ed

uno di minimo relativi e quelli per i quali non ammettono tali punti.

γ

b) Calcolare i valori di a e b in modo che la curva corrispondente abbia un

.

massimo relativo uguale a 0 e sechi l’asse x nel punto di ascissa - 2 2

1

= −

γ

c) Controllato che la curva si ottiene per , disegnarne l’andamento.

a 2 γ e dall’asse x.

d) Calcolare l’area della regione piana delimitata dalla curva

a)

Calcoliamo la derivata della funzione: ( )

( ) = +

I 2

3 1

y x ax [ )

∀ ∈ +∞ per cui in tale

Come si nota la derivata prima risulta essere sempre positiva a 0

, ( )

∀a ∈ − ∞ la curva

intervallo di valori di a la curva non presenta estremanti. Viceversa per ,

0

presenta due estremanti, in particolare un massimo ed un minimo.

Infatti in tal caso

( )

( ) 1 1

= + > → − − < < −

I 2

3 1 0

y x ax x

a a

( ) =

II

y x 6 ax

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− − = − − = − − >

II 6 6 0

y a a

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

a a a

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = − = − <

II

y 6 a 6 a 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

a a a

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1

= − − = −

Da cui si deduce che è l’ascissa del minimo, mentre è l’ascissa del

x x

a a

( )

0

, b

massimo e che è l’unico punto di flesso.

b)

Per calcolare i due parametri bisogna risolvere il sistema seguente:

( ) ( )

⎧

⎧ 3

− − + =

− = ⎧ − + =

y a b

2 2 0 2 2 6 2 0 a b

- 16 2 6 2 0

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⇒ ⇒

⎛ ⎞ ⎨

⎨ ⎨

3

⎛ ⎞

1 1

⎜ ⎟ 1 1

− = ⎜ ⎟ − + =

− + − + =

⎪ ⎪ ⎪

y 0 b

2 0

⎜ ⎟ a b

3 0

⎜ ⎟ ⎩

⎪

a

⎝ ⎠

⎩ a

a a

⎝ ⎠

⎩ 1

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1

= − −

La seconda equazione la possiamo riscrivere in questo modo: , ed essendo a<0, b sarà

b 2 a

certamente un valore negativo. 4

= −

a che sostituita nella prima dà:

Dalla seconda equazione ricaviamo 2

b ( )( ) ( )( )

64 2 2

+ − = → − + = → + − + = → + − =

3 2 2

b 6 2 0 b 6 2

b 64 2 0 b 2 2 b 8 2

b 32 0 b 2 2 b 4 2 0

2

b = − =

b 2 2 , b 4 2 con

Le soluzioni sono allora

=

b 4 2 non accettabil

e per quanto detto prima. Per cui il valore accettabil

e è

1

= − = −

b 2 2 a

da cui 2

La curva allora è: 1

= − + −

3

y x 3 x 2 2

2

c) ( ) ( )

− −

2 ,

0 2 , 4 2

, un minimo in ed un flesso in

Questa curva come già detto ha un massimo in

( )

−

0

, 2 2

d)

L’area cercata è:

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

2 2

1 1

∫ ∫

= − + =

= − − + − ⎜⎝ ⎟⎠

⎜⎝ ⎟⎠

3 3

⎢⎣ ⎥⎦

0 3 2 2 3 2 2

A x x dx x x dx

2 2

− −

2 2 2 2

2

⎡ ⎤ 27

4 3 1

x − + = − + − + + =

2

⎢ ⎥

2 2 3 4 8 12 8

x x 2

⎣ ⎦

8 2 2

− 2 2 2

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2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è

assegnata la curva C’ di equazione: −

2 1

x

= .

y 2 x

a) Studiarla e disegnarne l’andamento, indicando con A e B i punti in cui la curva

> x ).

seca l’asse x (x A B

b) Trovare l’equazione della circonferenza C’’ tangente a C’ in A e passante per B.

c) Disegnare C’’ sullo stesso piano di C’ dopo aver determinato il raggio e il centro

di C’’ e inoltre le coordinate dell’ulteriore punto in cui C’’ seca C’.

d) Determinare l’angolo sotto cui C’ e C’’ si secano in B.

e) Calcolare le aree delle regioni in cui C’ divide il cerchio delimitato da C’’.

1) ( ) ( )

≠ → = − ∞ ∪ +∞

Dominio

: x 0 D , 0 0

, ( ) ( )

= → = ± = = −

Intersezioni asse x : y 0 x 1

, A 1

, 0 , B 1

, 0

Intersezioni asse y :non ce ne sono

Parità o disparit&