1994 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 1 sessione suppletiva

Sessione suppletiva 1993/1994: liceo scientifico di ordinamento

In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) sono assegnate le curve di equazione

y = (x - a)/(2x - a)

dove a è un parametro reale non nullo.

a) Dimostrare che esse hanno tutte in comune un punto A ed esso soltanto.

b) Tra le curve considerate, determinare quelle che intercettano un segmento di lunghezza

4/3 10

sulla retta passante per A e avente coefficiente angolare 3.

c) Calcolare l'area della regione di piano delimitata dalle due curve trovate e dalla retta di equazione x = 1.

Soluzione di De Rosa Nicola

1) Le curve proposte sono al variare del parametro a delle classiche funzioni omografiche.

Cerchiamo di studiare il fascio separando i due casi, a > 0 ed a < 0:

Caso 1: a > 0

Dominio: x a / 2

Asintoti verticali: x = a / 2, lim f(x) =, lim f(x) =

Asintoti orizzontali: y = 1/2, lim f(x) = 1/2

Positività: y > 0 x < a / 2 x > a

Il grafico è sotto rappresentato:

x - a

2x - a

3

a > 0

1

a / 2

a

-1

-2

Caso a < 0

Dominio: x != a / 2

Asintoti verticali: x = a / 2, lim_{x -> a / 2+} f(x) = +infinity, lim_{x -> a / 2-} f(x) = -infinity

Asintoti orizzontali: y = 1 / 2, lim_{x -> +/-infinity} f(x) = 1 / 2

Positività: y > 0 -> x > a / 2 or x < a

Il grafico è sotto rappresentato:

A questo punto possiamo ricavare l'unico punto in comune dalla famiglia di curve.

Riscriviamo la curva in questo modo:

y = (x - a) / (2x - a) -> y(2x - a) - (x - a) = 0 -> (2xy - x) - a(y - 1) = 0

Cioè la curva è combinazione lineare di due curve: y₁ = 2xy - x, y₂ = y - 1 per cui il punto base del fascio di curve lo si ottiene dall'intersezione delle due curve, cioè:

2xy - x = 0

y - 1 = 0

-> x = 0

y = 1

Per cui il punto base è A = (0,1)

2)

La retta passante per A e di coefficiente angolare 3 ha l'equazione y = 3x + 1

Calcoliamo ora i punti di intersezione tra il fascio e la retta:

y = (x - a)/(2x - a)

y = 3x + 1

3x + 1 = (x - a)/(2x - a) = (3x + 1)(2x - a) - (x - a) = 0

6x² + x(1 - 3a) = 0 = x = 0, x = (3a - 1)/6

per cui i punti di intersezione sono: A = (0,1), B = ((3a - 1)/6, (3a + 1)/2)

Ora per risolvere il quesito bisogna imporre che AB = 4/3 sqrt(10)

Ora AB = sqrt(((3a - 1)/6)² + ((3a - 1)/2)²) = sqrt((3a - 1)²(1/36 + 1/4)) = sqrt((3a - 1)² 10/36) = |3a - 1|/6 sqrt(10)

Per cui |3a - 1|/6 sqrt(10) = 4/3 sqrt(10) = |3a - 1| = 8

Ora se a > 1/3 l'equazione diventa 3a - 1 = 8 = a = 3 che è accettabile

Se invece a < 1/3 l'equazione diventa 1 - 3a = 8 = a = -7/3 anch'essa accettabile

Quindi le iperboli del fascio sono 2 e cioè:

y = (3x + 7)/(6x + 7),   y = (x - 3)/(2x - 3)

Rappresentate sotto:

(3x + 7)/(6x + 7)

(x - 3)/(2x - 3)

3)

Le due curve sopra trovate hanno in comune come già ribadito l'unico punto A (0,1)

Rappresentiamole su un unico grafico assieme alla retta x = 1:

Regione di interesse

L'area cercata allora è semplice da trovare ed è:

AREA = ¹₀((x - 3)/(2x - 3) - (3x + 7)/(6x + 7)) dx = ¹₀(1/2(1 - 3/(2x - 3)) - 1/2(1 + 7/(6x + 7))) dx = ¹₀(-3/2/(2x - 3) - 7/2/(6x + 7)) dx =

[-3/4 ln|2x - 3| - 7/12 ln|6x + 7|]¹₀ = -7/12 ln 13 + 3/4 ln 3 + 7/12 ln 7 = 3/4 ln 3 + 7/12 ln 7/13