1996 - problema 1 sessione suppletiva

Sessione suppletiva 1996

1) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve

y = ²x + ax + b

di equazione: ³x, dove a, b sono parametri reali.

Trovare quale relazione lega questi parametri quando le curve considerate hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e stabilire a quali altre condizioni devono soddisfare a e b affinché tali punti, quando esistono, abbiano ascisse dello stesso segno.

Tra le curve assegnate determinare la curva k avente gli estremi relativi nei punti A, B di ascisse 1 e 3 rispettivamente e disegnarne l'andamento.

Calcolare infine l'area della regione piana delimitata dalla curva k e dalla retta y = q, dove q è l'ordinata del punto B.

Soluzione di De Rosa Nicola

y = ²x + ax + b

Innanzitutto si calcola la derivata prima e seconda della funzione y:

Derivata prima

(4x³ + ax² + b) = (4x³ + 2ax² − 3x² − 2ax − 3b) / 6x⁶

I

y′ = (2x² − 2ax − 3b) / 4x⁴

Derivata seconda

(4x² + 2ax + 3b) = (4x² − 6ax − 12b) / 8x⁵

II

y″ = [4x²(2x² − 2ax − 3b) − 4x(4x³ + 2ax² + 3b)] / x⁸

= [4x⁴ − 6ax³ − 12b x²] / x⁵

Ora per avere un massimo ed un minimo deve verificarsi che la derivata prima si annulli in due punti cioè abbia due radici reali e questo accade se l'equazione (2x² − 2ax − 3b) ha il delta maggiore di zero cioè se

a² − 6b > 0

Inoltre devono essere soddisfatte altre due condizioni e che cioè nei punti in cui si annulla la derivata prima la derivata seconda sia maggiore o minore di zero in base al fatto che il punto sia di massimo o minimo relativo.

Studiamo perciò il segno della derivata prima sotto la condizione a² − 6b > 0:

y′ = (2x² − 2ax − 3b) / 4x⁴ > 0 → 2x² − 2ax − 3b < 0 → (a − √(a² − 6b)) / 2 < x < (a + √(a² − 6b)) / 2

II

y″ = (2x² − 2ax − 3b) / x⁵

Ora l'ascissa sarà di minimo se y′(x) > 0 e cioè se