1994 - problema 1 ordinamento

Sessione ordinaria 1994, Liceo di ordinamento

Soluzione di De Rosa Nicola

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Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione \(y = \frac{x^2}{2} + \ln |x + 1|\).

Disegnarne un andamento approssimato dopo aver verificato, fra l'altro, che essa ha due flessi.

Calcolare l'area del triangolo formato dalla retta congiungente tali flessi e dalle tangenti inflessionali.

Calcolare inoltre l'area della regione piana delimitata da k, dall'asse x e dalla retta di equazione \(2x - 3 = 0\).

Stabilire infine quale delle due aree precedenti è la maggiore.

Studio della funzione

Studiamo la funzione \(y = \frac{x^2}{2} + \ln |x + 1|\).

Dominio: \(x + 1 > 0 \Rightarrow x \ne -1 \Leftrightarrow x \in ]-\infty, -1[ \cup ]-1, +\infty[\).

Intersezione asse y: \(x = 0 \Rightarrow y = 0\).

Intersezione asse x: in tal caso la strada da seguire è quella grafica visto che la funzione si compone di un polinomio e di una funzione trascendente. Graficamente allora la soluzione dell'equazione \(\frac{x^2}{2} + \ln |x + 1| = 0\) è equivalente alla soluzione del sistema

\[ \begin{cases} y = \ln |x + 1| \\ y = -\frac{x^2}{2} \end{cases} \qquad \forall x \ne -1 \]

La prima curva è la classica curva logaritmica definita, interseca l'asse delle x nei punti per cui \(\ln(x + 1) = 0 \Rightarrow x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\), ha l'asintoto verticale in x = -1, è positiva per \(x + 1 > 1 \Rightarrow x > 0\), è negativa per \(0 < x + 1 < 1 \Rightarrow -1 < x < 0\), è crescente nell'intervallo visto che la derivata è

\[ y' = \frac{1}{x + 1}. \]

La seconda curva è una parabola con vertice in (0,0) e concavità rivolta verso il basso.

Rappresentiamole sullo stesso grafico:

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Intersezione dei grafici

Sessione ordinaria 1994 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola

I due grafici come il grafico evidenzia si intersecano in due soli punti, rispettivamente

\[ \left(-2, -\frac{\alpha^2}{2}\right), \qquad \left(\alpha, -\frac{\alpha^2}{2}\right) \]

con \(\alpha \in ]-2, 0[\). Questa seconda soluzione è prevista anche dal teorema degli zeri applicato alla funzione \(y = \frac{x^2}{2} + \ln |x + 1|\) nell'intervallo \([-2, -1[ \cup ]-1, 0]\), in cui la funzione risulta continua e derivabile e perciò in tale intervallo è applicabile il teorema degli zeri.