1994 - problema 1 ordinamento

Sessione ordinaria 1994 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola

1) Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva

2

x

= + +

k di equazione y ln | x 1 | .

2

Disegnarne un andamento approssimato dopo aver verificato, fra l'altro, che essa ha due

flessi.

Calcolare l'area del triangolo formato dalla retta congiungente tali flessi e dalle tangenti

inflessionali.

Calcolare inoltre l'area della regione piana delimitata da k, dall'asse x e dalla retta di

− =

2 x 3 0 .

equazione

Stabilire infine quale delle due aree precedenti è la maggiore.

2

x

= + +

Studiamo la funzione .

ln| 1

|

y x

2 ( ) ( )

+ > ⇒ ≠ − ⇔ − ∞ − ∪ − +∞

Dominio: x 1 0 x 1 , 1 1

,

= → =

x 0 y 0

Intersezione asse y:

Intersezione asse x: in tal caso la strada da seguire è quella grafica visto che la funzione si

compone di un polinomio e di una funzione trascendente. Graficamente allora la soluzione

dell’equazione 2

x + + =

ln | x 1 | 0

2

È equivalente alla soluzione del sistema ⎧ = +

ln 1

y x

⎪

⎨ 2

x

= −

⎪ y

⎩ 2 ∀x ≠ − 1

La prima curva è la classica curva logaritmica definita , interseca l’asse delle x nei punti

+ = → + = → = = −

per cui , ha l’asintoto verticale in x=-1, è positiva per

ln x 1 0 x 1 1 x 0

, x 2 ( )

− +∞

+ > → + > → > < − , è crescente nell’intervallo visto che la derivata è

1

,

ln x 1 0 x 1 1 x 0

, x 2

( ) 1

=

I

y x .

+

x 1

La seconda curva è una parabola con vertice in (0,0) e concavità rivolta verso il basso.

Rappresentiamole sullo stesso grafico: 1

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I due grafici come il grafico evidenzia si intersecano in due soli punti, rispettivamente

α ⎞

⎛ 2 ( )

( ) α

α ⎟

⎜ ∈ − −

− 2

, 1

con . Questa seconda soluzione è prevista anche dal teorema degli zeri

0

, 0 , , ⎟

⎜ ⎠

⎝ 2 [ ]

2

x −

− − −

= + + 3

nell’intervallo 2

, 1 10 in cui la funzione risulta

applicato alla funzione y x

ln| 1

|

2

continua e derivabile e perciò in tale intervallo è applicabile il teorema degli zeri.

2 2

x x

= + + > → + > −

ln | 1 | 0 ln | 1 |

: y x x e questa disequazione la risolviamo

Positività 2 2

avvalendoci del grafico tracciato per trovare le intersezioni con l’asse delle ascisse: infatti il grafico

sopra mostrato evidenzia che 2

x

+ > − ⇒

ln | x 1 | 2

( ) ( )

α

∈ +∞ ∪ − ∞

x 0

, ,

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 2 ( ( )

)

x x

= − + + = + + = + = −∞

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

:

Asintoti verticali x 1

, lim ln | x 1 | lim ln | x 1 | 1 ln 0

+ −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

→ − → −

2 2

1 1

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 2

x x

+ + = + + = +∞

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

. Non ce ne sono poiché

Asintoti orizzontali lim ln | x 1 | lim ln | x 1 |

→ +∞ → −∞

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

x x

: non ce ne sono

Asintoti obliqui :

Crescenza e decrescenza

+ +

2

( ) ( ) ( )

x x

1 1

= + = > → − +∞ − ∞

I

y x x 0 1

, la funzione è crescente e decrescente in ,−

1

+ +

x x

1 1 2

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( )

+

( ) x x 2

= = ⇒ = = −

II

y x 0 x 0

, x 2 per cui la curva presenterà due flessi, rispettivamente in

( )

+ 2

x 1

( ) ( )

− .

0

, 0 , 2

, 2

Il grafico è di seguito rappresentato:

Calcolo delle tangenti inflessionali: ⎞

⎛ + +

2

( ) ( ) 1

x x ⎟

⎜ = → =

= = = =

I

0

,

0

La tangente in ha equazione è la

, 0 1

y mx m y x y x

⎟

⎜ + ⎠

⎝ 1

x = 0

x

( )

tangente inflessionale in .

0

,

0 ⎞

⎛ + +

2

( ) ( )

( ) 1

x x ⎟

⎜

− = −

− = + = = − =

I

La tangente in ha equazione

2

, 2 2 2 , 2 3

y m x m y x ⎟

⎜ + ⎠

⎝ 1

x = − 2

x

( )

= − − −

y 3 x 4 è la tangente inflessionale in .

Per cui 2

, 2

( ) ( ) = −

− y x

ha equazione .

La retta che congiunge i due flessi 0

, 0 , 2

, 2

Rappresentiamo la curva con le due tangenti e la retta che congiunge i due flessi su di un unico

grafico: 3

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Poiché le rette OB ed OA, che non sono altro che le bisettrici del 2° e 4° e del 1° e 3° quadrante,

sono tra di loro perpendicolari, allora il triangolo BOA è rettangolo per cui la sua area sara:

BO * OA

=

A

BOA 2

= + = =

BO 4 4 8 2 2

Ora

Calcoliamo ora il punto A intersecando le due rette OA ed AB:

= − − = −

⎧ ⎧

y x x

3 4 1 ( )

→ → = − −

⎨ ⎨

A A

: 1

, 1

= = −

⎩ ⎩

y x y 1 BO * OA 2 2 * 2

= = =

= + =

Per cui per cui A 2

1 1 2

OA BOA 2 2

Per il calcolo dell’area consideriamo la figura seguente: 4

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