1997 - Problema 1 sessione suppletiva problema 1

Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1

Soluzione di De Rosa Nicola

Problema 1

Data l'equazione:

rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali da parabole con asse parallelo all'asse y, determinare, in funzione del coefficiente a, i coefficienti b e c che individuano la famiglia delle parabole passanti per i punti A(1,1) e B(2,0).

Punto 1

Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia.

Punto 2

Considerate le due parabole della famiglia aventi vertici rispettivamente in A e B, calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole e l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.

Punto 3

Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle x la superficie delimitata oltre che dall'asse x stesso, dall'arco OA, essendo O l'origine degli assi cartesiani, della parabola e dall'arco AB della parabola.

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Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1

Soluzione di De Rosa Nicola

Problema 1

y = ax² + bx + c

Data l'equazione: y = ax² + bx + c rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali da parabole con asse parallelo all'asse y, determinare, in funzione del coefficiente a, i coefficienti b e c che individuano la famiglia delle parabole passanti per i punti A(1,1) e B(2,0).

Punto 1

Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia.

Il passaggio per i punti A=(1,1) e B=(2,0) impone due condizioni da soddisfare:

a + b + c = 1

4a + 2b + c = 0

Per cui la parabola avrà equazione:

y = ax² + (1 − 3a)x + (2a − 2).

Le coordinate del vertice V saranno:

V_x = − ^{3a − 1}⁄_2a

V_y = − ^{(3a − 1)2⁄_4a + 2a − 2}

Ora imponendo V_x = x e V_y = y si ha:

x = − ^{3a − 1}⁄_2a

y = − ^{(3a − 1)2⁄_4a + 2a − 2}

⇔ x = − ^{3a − 1}⁄_2a

⇔ y = − ^{(3a − 1)2⁄_4a + 2a − 2}