1997 - Liceo scientifico di ordinamento - quesito 1 sessione straordinaria

Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1 Soluzione di De Rosa Nicola

1. Data l'equazione:

rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali da parabole con asse parallelo

all'asse y, determinare -in funzione del coefficiente a- i coefficienti b e c che individuano la famiglia

delle parabole passanti per i punti A(1,1) e B(2,0).

1. Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della

.

famiglia

2. Considerate le due parabole della famiglia aventi vertici rispettivamente in A e

B, calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole e

l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.

3. Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle x la superficie

delimitata oltre che dall'asse x stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani)

della parabola e dall'arco AB della parabola . 1

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Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1 Soluzione di De Rosa Nicola

PROBLEMA 1 = + +

2

Data l'equazione: y ax bx c rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane

ortogonali da parabole con asse parallelo all'asse y, determinare -in funzione del coefficiente

a- i coefficienti b e c che individuano la famiglia delle parabole passanti per i punti A(1,1) e

B(2,0).

Punto 1

Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della

.

famiglia

Il passaggio per i punti A=(1,1) e B=(2,0) impone due condizioni da soddisfare:

=

⎧ a a

+ + =

⎧ ⎪

a b c 1 ⇒ = − −

⎨ ⎨

b a

3 1

+ + =

⎩ a b c

4 2 0 ⎪ = +

⎩

c a

2 2

= − + + +

2

Per cui la parabola avrà equazione (

1 3 ) ( 2 2 )

y ax a x a .

Le coordinate del vertice V saranno:

+

⎧ +

⎧

3 1

a 3 1

a

= =

V

⎪ V

⎪

x

⎪ ⎪ x

2 a 2 a

⇔

⎨ ⎨ ( ) ( )

+ +

2 + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2

( ) ( )

⎪ ⎪

3 1 3 1

a

a ( ) 3 1 1

a a

− + + +

= = + − = −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

3 1 2 2

V a a a 2 2

V a

⎪

⎪ ⎩

y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y

⎩ 2 2

a a 4 4

a a

=

⎧

V x

x

⎨ si ha:

Ora imponendo =

V y

⎩ y ⎧ 1

=

a

⎪

+ − 2

−

⎧ ⎛ ⎞

a

3 1 2 x 4

2 x 3

⎪

= = ⎜ ⎟

V x

⎪ ( ) ( )

− −

−

⎪ ⎪ 2 2

x ⎝ ⎠

2

⎛ ⎞ x 2 x 2

2 a 2 x 3

1

⇔ ⇔ = − = − =

⎨ ⎨ −

⎜ ⎟ y

1

( ) − −