1990 - problema 1, sessione suppletiva

Sessione suppletiva 1990 ≥

1) Data la parabola y = 4x - x² e la retta y = k (con k ≥ 0) che intercetta sulla parabola i due punti A e B, determinare la superficie del triangolo OAB (ove O è l'origine degli assi cartesiani) e studiarne l'andamento al variare di k.

In particolare determinare per quale valore di k la superficie è massima. Calcolare quindi il volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse delle ascisse del tratto di curva rappresentante la funzione studiata per 0 ≤ k ≤ 4.

Soluzione di De Rosa Nicola

La parabola di equazione y = 4x - x² ha asse parallelo all'asse delle ordinate, vertice in V (2, 4) ed interseca l'asse delle ascisse in due punti, O (0, 0), C (4, 0).

Calcoliamo le intersezioni tra la parabola di equazione y = 4x - x² e la retta y = k.

Innanzitutto per avere due intersezioni, vista la limitazione k ≥ 0 imposta, deve aversi 0 ≤ k ≤ 4.

Le intersezioni si calcolano risolvendo l'equazione seguente:

4x - x² = k → x² - 4x + k = 0 → x = 2 ± √(4 - k)

A = (2 - √(4 - k), k)

B = (2 + √(4 - k), k)

L'area del triangolo OAB è: OB * h

A_OAB = ^{OB * h}⁄₂

dove h è la distanza di A dalla retta OB.

La retta OB, passando per l'origine ha equazione

y = mx, m = ^y⁄_x = ^k⁄_{2 + √(4 - k)}.

y = ^k⁄_{2 + √(4 - k)}x ↔ kx - [2 + √(4 - k)]y = 0

per cui l'altezza h con la formula della distanza punto retta sarà:

h = ^{|k(2 - √(4 - k)) - [2 + √(4 - k)]k|}⁄_{√(k² + [2 + √(4 - k)]²)}

= ^{2k√(4 - k)}⁄_{√(k² + [2 + √(4 - k)]²)}

La base OB del triangolo OAB sarà invece:

OB = √([2 + √(4 - k)]² + k²)

per cui l'area sarà in definitiva:

A_OAB = ¹⁄₂ * √([2 + √(4 - k)]² + k²) * ^{2k√(4 - k)}⁄_{√(k² + [2 + √(4 - k)]²)}

A_OAB(k) = k√(4 - k), con 0 ≤ k ≤ 4.

Innanzitutto si nota che per 0 ≤ k ≤ 4 la funzione A_OAB(k) risulta essere sempre positiva, per cui lo studio di A_OAB(k) = k√(4 - k) si riconduce allo studio di A(k) = k√(4 - k), dal momento che il valore