1967 - Liceo scientifico - sessione estiva

Maturità scientifica 1966/1967 – Sessione estiva Soluzione di De Rosa Nicola

In un piano, riferito ad uni sistema cartesiano ortogonale Oxy, si considerino le parabole di

equazione: = + + −

2

y mx x 3 4 m

essendo m un parametro diverso da zero.

(a) Si determinino le coordinate del vertice della generica parabola di equazione (1), in

funzione del parametro m. Successivamente, eliminando m fra le due relazioni così trovate, si

studi la curva di equazione y = f(x) che così si ottiene (luogo dei vertici delle parabole) e in

particolare si trovino i punti A e B in cui la funzione f(x) ha rispettivamente un massimo e un

minimo relativo.

(b) Si verifichi che tutte le parabole considerate passano per i punti A e B e si dia una

giustificazione di ciò.

(c) Fra le parabole di equazione (1) si studino quelle aventi per vertice o A oppure B e si provi

che esse sono fra loro simmetriche rispetto al punto medio C del segmento AB.

(d) Si calcoli l’area della regione finita limitata dalle due parabole di cui al punto (c). 1

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Maturità scientifica 1966/1967 – Sessione estiva Soluzione di De Rosa Nicola

PROBLEMA

In un piano, riferito ad uni sistema cartesiano ortogonale Oxy, si considerino le parabole di

equazione: = + + −

2

y mx x 3 4 m

essendo m un parametro diverso da zero.

Punto (a)

Si determinino le coordinate del vertice della generica parabola di equazione (1), in funzione

del parametro m. Successivamente, eliminando m fra le due relazioni così trovate, si studi la

curva di equazione y = f(x) che così si ottiene (luogo dei vertici delle parabole) e in particolare

si trovino i punti A e B in cui la funzione f(x) ha rispettivamente un massimo e un minimo

relativo.

Le coordinate generiche del vertice della famiglia di parabole sono:

1

= −

V x 2 m − + −

2

⎞

⎛ 2

1 1 1 1 1 16 m 12 m 1

= − − + − = − + − = − + − =

⎜ ⎟

V m 3 4 m 3 4 m 3 4 m

y ⎝ ⎠

2 m 2 m 4 m 2 m 4 m 4 m

=

⎧

V x 1

= −

x

⎨ che sostituita nella seconda fornisce la funzione

Ponendo si ha dalla prima m

=

V y

⎩ 2 x

y 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 4 6

+ − −

− − ⎟

⎜ ⎟ ⎜ − − −

16 12 1 1 + +

⎠ ⎝ ⎠

⎝ 2 6 4

x x

2 2

x x 2 x

x

= =

=

y .

⎞

⎛ 2

1 2 x

−

− ⎟

⎜

4 ⎠

⎝ x

2 x + +

2

x 6 x 4

=

y

Studiamo allora la funzione 2 x

( ) ( )

∈ − ∞ +∞