1996 - liceo scientifico di ordinamento prova completa

Sessione ordinaria 1996 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola

1) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono

1 1

= + −

2 2

y x ax a

assegnate le parabole di equazione: , dove a è un numero reale

4 4

positivo. Tra di esse determinare la parabola p che, con la sua simmetrica q

128

rispetto all'origine O, delimita una regione di area . Constatato che, per la

3

parabola p risulta a = 2, calcolare l'area del quadrilatero convesso individuato

dagli assi di riferimento e dalle tangenti alle due parabole p, q nel loro punto

comune di ascissa positiva. Considerato infine il quadrilatero convesso avente per

vertici i punti medi dei lati del quadrilatero precedente, dimostrare che si tratta di

un parallelogramma e calcolarne l'area.

a)

La simmetrica della parabola rispetto all’origine è tale che:

⎡ ⎤

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

= − − = − − + − − = − + +

2 2 2 2

p : y x y x x a x a x ax a

⎢ ⎥

S ⎣ ⎦

4 4 4 4

⎛ ⎞

a 17

1 1 = − −

= + − ⎜ ⎟

2

2 2 ha vertice

La parabola di equazione V , a mentre la

y x ax a ⎝ ⎠

2 16

4 4 ⎛ ⎞

( ) 1 1 17

a

= − + + = ⎜ ⎟

2 2 2

,

parabola ha vertice

y x x ax a V a

S

S ⎝ ⎠

2

4 4 16

1 1

= + −

2 2 interseca l’asse delle ascisse nelle ascisse

La parabola di equazione y x ax a

4 4

− ± ( )

17

a a 1 1

= = − + +

2 2

mentre la parabola interseca l’asse delle ascisse

x y x x ax a

1

, 2 S 4 4

2 ± 17

a a

=

nelle ascisse .

x S ,

1

, 2 2

Le due parabole si intersecano nei punti forniti dal seguente sistema:

⎧ 1 1

= + −

2 2

y x ax a

⎪

⎪ 1 1 1 1 1

4 4 ⇒ + − = − + + → = → = ±

2 2 2 2 2 2

⎨ 2 2

x ax a x ax a x a x a

1 1 4 4 4 4 2

⎪ = − + +

2 2

y x ax a

⎪

⎩ S 4 4 ⎞

⎛

⎞

⎛ 2 2

a a ⎟

⎜

⎟

⎜ − −

Per cui i punti di intersezione sono a a

2 , , 2 , ⎟

⎜

⎟

⎜ ⎠

⎝

⎠

⎝ 2 2

Rappresentiamo le parabole su un unico grafico: 1

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L’area della regione di piano di interesse non è altro che:

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

a a

2 2

1 1 1 1 1

∫ ∫

= − + + − + + − = −

⎟⎠ ⎟⎠

⎜⎝ ⎜⎝

2 2 2 2 2 2

⎢⎣ ⎥⎦ 2

A x ax a x ax a dx a x dx

4 4 4 4 2

− −

a a

2 2

a

2

⎡ ⎤

1 4 4 16

= − + − =

−

2 3 3 3 3 3 3

2 4 4

a x x a a a a a

⎢⎣ ⎥⎦

6 3 3 3

− a

2 128 16 128

= = → = → =

3 3

Ora imponendo che si ricava 8 2

A a a a

3 3 3

( )

Calcoliamo le due tangenti nel punto .

4

, 2 1 1 1 1

= + − = + −

2 2 2

La tangente alla parabola di equazione 4 ha equazione

y x ax a x x

4 4 4 2

⎛ ⎞

( )

( ) 1 1 5

− = − = = + =

⎜ ⎟

I

y 2 m x 4 con per cui la tangente ha equazione

m y x

2 ⎝ ⎠

2 2 2

=

x 4

5

= −

: 8

t y x

1 2 1 1 1 1

= − + + = − + +

2 2 2

La tangente alla parabola di equazione 4 ha equazione

y x ax a x x

S 4 4 4 2

⎞

⎛

( )

( ) 1 1 3

− = − = −

= = − + ⎟

⎜

I

con per cui la tangente ha equazione

2 4 2

y m x m y x

S ⎠

⎝ 2 2 2

=

x 4

3

= − +

: 8

t y x

2 2

Consideriamo la figura sottostante: 2

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Calcolo dei punti P, Q ed R.

=

⎧ x 0

⎪ ( )

⇒ =

⎨

Punto P: P 0

,.

8

3

= −

y x

8

⎪⎩ 2

=

⎧ y 0

⎪ ⎛ ⎞

16

⇒ = ⎜ ⎟

⎨

Punto Q: Q ,.

0

5

= − + ⎝ ⎠

5

y 8 x

⎪⎩ 2

=

⎧ y 0

⎪ ⎛ ⎞

16

⇒ = ⎜ ⎟

⎨ Q ,.

0

Punto R: 3

= − ⎝ ⎠

3

⎪⎩ y 8 x

2

Ora si ha: 3

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= −

A A A

OPBQ OPR BQR 16

8 *

OP OR

* 64

3

= = =

A

OPR 2 2 3

⎞

⎛ 16 16

− ⎟

⎜

2 * ⎠

⎝

BT QR

* 32

3 5 =

=

A

BQR 2 15

2 64 32 288 96

= − = − = =

Quindi A A A

OPBQ OPR BQR 3 15 15 5

Consideriamo ora la figura seguente:

I punti O’, Q’, P’, B’ per come definiti punti medi dei segmenti hanno coordinate: 4

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+ + ⎞

⎛ x x y y ( )

=

= ⎟

⎜ O P O P