1988 - problema 1 sessione straordinaria

Sessione suppletiva 1988

1) Si determinino i coefficienti dell'equazione y = ax³ + bx² + cx + d (a > 0) in modo che la curva da essa rappresentata in un piano cartesiano ortogonale (Oxy) sia simmetrica rispetto all'origine, abbia in essa per tangente la bisettrice del 2° e 4° quadrante e sia tale che l'area delle regioni finite di piano delimitate dalla stessa curva e dalla retta congiungente i suoi punti di massimo e minimo relativi sia 1/2. Se ne disegni il grafico.

Soluzione di De Rosa Nicola

Affinché la curva di equazione y = ax³ + bx² + cx + d sia simmetrica rispetto all'origine deve aversi che:

f(−x) = −ax³ + bx² − cx + d = −f(x) = −ax³ − bx² − cx − d

Da cui ricaviamo subito bx² + d = 0, per cui la curva presenterà una equazione del tipo

y = ax³ + cx

Ora dire che nel punto (0,0) la curva è tangente alla retta di equazione y = −x significa dire che il valore della derivata per x = 0 è pari a -1, cioè:

f'(x) = 3ax² + c

3ax² + c = −1

x = 0

c = −1

L'equazione della curva sarà allora del tipo y = ax³ − x.

Studiamo questa funzione supponendo come la traccia indica a > 0:

Dominio: R

Intersezione asse delle ascisse: ax³ − x = 0

x(ax² − 1) = 0

x = 0, x = ±1/√a

Intersezione asse delle ordinate: x = 0 ⇒ y = 0

Positività: ax³ − x > 0

x(ax² − 1) > 0, che si studia separatamente discutendo singolarmente ogni fattore e poi mettendo tutto sulla stessa retta dei reali:

x > 0

ax² − 1 > 0 ⇒ x < −1/√a, x > 1/√a

ax³ − x > 0 ⇒ x(ax² − 1) > 0 ⇒ x > 0