1995 - problema 2 corso di ordinamento

Sessione ordinaria 1995

2)

Nel cubo di vertici A, B, C, D, E, F, G, H le facce ABCD e EFGH sono opposte ed i segmenti AE, BF, CG sono spigoli. Inoltre gli spigoli del cubo hanno lunghezza unitaria.

Sullo spigolo BF prendere un punto P tale che BP = x.

a) Verificare che la distanza di P dalla diagonale AG è espressa dalla seguente funzione:

y = √((2x² − 2x + 2) / 3).

b) Di essa disegnare il grafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, dopo aver trovato, tra l'altro, le equazioni dei suoi asintoti.

c) Considerato infine il volume del solido generato, in una rotazione completa intorno all'asse x, dalla regione piana delimitata da tale grafico, dagli assi di riferimento e dalla retta di equazione x = h (con h > 0), calcolare per quale valore di h questo volume è 16/9π.

Soluzione di De Rosa Nicola

a)

Consideriamo la figura seguente:

La diagonale AG del cubo ha lunghezza: AG = l√3.

Ma AG = AK + KG.

Ora AK² = AP² − PK².

AP² = PB² + AB² = x² + 1.

Per cui AK² = AP² − PK² = x² − y² + 1.

KG² = PG² − KP².

PG² = PF² + FG² = (1 − x)² + 1.

Per cui KG² = PG² − KP² = (1 − x)² + 1 − y² = x² − 2x − y² + 2.

Ora la condizione AG = AK + KG comporta:

√(x² − y² + 1) + √(x² − 2x − y² + 2) = √3.

x² − 2x − y² + 2 = 3 − x² + y² − 1.

Ora, vista la positività di ambo i membri in gioco al primo e secondo membro, possiamo elevare al quadrato ottenendo:

(x² − 2x − y² + 2) = 3 + x² − y² + 1 − 2√(3(x² − y² + 1)).

2√(3(x² − y² + 1)) = 2x.

√(3(x² − y² + 1)) = x.

Anche in tal caso, vista la positività di ambo i membri, possiamo elevare al quadrato ottenendo:

3(x² − y² + 1) = x².

3x² − 3y² + 3 = x².

3y² = 2x² − 2x + 2.

(2x² − 2x + 2) / 3 = y².

y = ±√((2x² − 2x + 2) / 3).

Di cui la soluzione col meno va scartata visto che la distanza y è una lunghezza e per questo strettamente positiva. Quindi la relazione è:

y = √((2x² − 2x + 2) / 3).

b)

Studio della funzione y = √((2x² − 2x + 2) / 3).