1991 - problema 1

SESSIONE ORDINARIA 1991:LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

1) In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri il punto A(2x, 0). Si trovi il luogo L del

punto B(x, y) tale che il triangolo OAB abbia perimetro 2p e si determini l'area della regione finita di

piano delimitata dal luogo stesso. Se B è il punto di L del primo quadrante la cui ascissa è p/4 ed

0

A il terzo vertice del triangolo relativo, si calcoli l'area del triangolo OA B 0. Si individuino inoltre

0 0

le altre 7 posizioni di B tali che il triangolo OAB sia equivalente ad OA B

0.

0

SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA

Si consideri la figura seguente:

La relazione da imporre è:

+ + =

OB BA AO 2 p

= +

2 2

OB x y

( )

= − + = +

2 2 2 2

BA 2 x x y x y

=

AO 2 x

Per cui + + = + + = ⇔ + = −

⇒ 2 2 2 2

OB BA AO 2 p 2 x y 2 x 2 p x y p x

− ≥ → − ≤ ≤

Ora se supponiamo possiamo elevare ambo i membri al quadrato

p x 0 p x p

nella equazione risolvente ottenendo:   2

p y

= −



 x

 2 2 p



 2 

p y  ≤ ≤

+ = + − = −

 2 2 2 2   0 x p

x y p x 2 p x x

⇒ ⇒

  

2 2 p

− ≤ ≤  2

  

p x p p y

− ≤ ≤ = − +

 

p x p x

 2 2 p

  − ≤ ≤

  p x 0



Riconosciamo subito nelle due equazioni dei due sistemi due parabole con asse parallelo all’asse

2

p y

= −

x

delle x. In particolare rappresenta un arco di parabola del primo e quarto quadrante con

2 2 p 2

  p y

p = − +

  x

vertice in mentre rappresenta un arco di parabola del secondo e terzo

, 0

  2 2 p

2  

p

−

  .

quadrante con vertice in , 0

 

2

Tale luogo è rappresentato in figura:

Per la simmetria possiamo calcolare l’area sottesa dall’arco di parabola nel primo quadrante e poi

moltiplicare per 4. In particolare l’arco di parabola del primo quadrante avrà una equazione che

ricaviamo dall’equazione della parabola stessa:

2

p y

= − = − = ± −

⇒ ⇒

2 2 2

x y p 2 px y p 2 px e tra le due l’equazione che rappresenta l’arco

2 2 p = −

2

del primo quadrante è ovviamente y p 2 px .

Per cui l’area sarà: p p ( )

 

2 2 1

( )

1

∫ ∫

= − = − − − =

  2

2

A 4 p 2 px dx 4 2 p p