1970 - Liceo scientifico, sessione ordinaria e supplementare

Sessione ordinaria 1969/1970: soluzione di De Rosa Nicola

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Sessione ordinaria 1969/1970: soluzione di De Rosa Nicola

Problema 1

Verificare che le due curve piane, grafici cartesiani delle funzioni:

y = x³ + 3x² + 3x + 1

y = x³ − 3x² + 3x − 1

hanno due punti in comune.

x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ − 3x² + 3x − 1 da cui

I punti in comune si calcolano risolvendo l’equazione

(x + 1)⁶ = 0 ⇒ x = −1;

A = (0; 0);

B = (1; 1);

0

Indicare l’andamento dei predetti grafici cercandone in particolare gli eventuali punti di massimo o minimo relativi.

Studio della prima curva

Studiamo la curva y = x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³.

• Dominio: R;
• Intersezioni asse ascisse: y = 0 ⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 ⇔ x = −1;
• Intersezioni asse ordinate: x = 0 ⇒ y = 1;
• Positività: y = (x + 1)³ ≥ 0 ⇒ x ∈ [−1; +∞);
• Asintoti: non esistono asintoti, né verticali, né orizzontali né obliqui;
• Crescenza e decrescenza: y' = 3(x + 1)² ≥ 0 ∀ x ∈ R per cui la funzione è strettamente crescente su tutto il dominio R;
• Flessi: y'' = 6(x + 1) = 0 ⇒ x = −1; inoltre in x = −1 si annulla anche la derivata prima, mentre la derivata terza y''' = 6, per cui in c’è un flesso a tangente orizzontale.

Il grafico è sotto presentato:

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Studio della seconda curva

Studiamo la curva y = x³ − 3x² + 3x − 1.

• Dominio: R;
• Intersezioni asse ascisse:

y = x³ − 3x² + 3x − 1 = (x − 1)³ = 0 ⇔ x = 1;

x = 1, x = 2, x = 3;

• Intersezioni asse ordinate: x = 0 ⇒ y = −1;
• Positività: y = (x − 1)(x² − 2x + 1) ≥ 0 ⇒ x ∈ [−1; 1] ∪ [1; +∞);
• Asintoti: non esistono asintoti, né verticali, né orizzontali né obliqui;
• Crescenza e decrescenza: y' = 3x² − 6x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 oppure x ≥ 1;
• Flessi: y'' = 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1, per cui in c’è un flesso a tangente obliqua di equazione y = 6x − 2.

Il grafico è sotto presentato: