Sessione straordinaria 2002
Problema 2
Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy):
Studiare le funzioni:
e disegnare i loro grafici;
dopo aver verificato che, oltre al punto O, tali grafici hanno in comune un altro punto A, determinare sul segmento OA
un punto P tale che, condotta per esso la retta parallela all’asse y, sia massima la lunghezza del segmento RS, dove R ed
S sono i punti in cui la retta interseca i due grafici suddetti;
determinare le coordinate dei punti di ascisse uguali in cui le due curve hanno tangenti parallele e verificare che, oltre al
punto A, si ritrovano i punti R ed S;
calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.
Soluzione di De Rosa Nicola ( )
− + −
3 2 2
2 x 6 x 2 x 3 x
= =
Iniziamo a studiare la funzione y 3 3
Dominio: R ( )
− + −
3 2 2
x x x x
2 6 2 3
= = = → = =
y 0 x 0
, x 3
Intersezione asse ascisse: 3 3
= → =
Intersezione asse ordinate: x 0 y 0
Positività:
( )
−
2 ( ) ( ) ( )
2 x 3 x
= > ⇔ ≠ ∪ − > → ∈ − ∞ ∪
y 0 x 0 3 x 0 x , 0 0
,
3
3
Asintoti verticali: non ce ne sono visto che il dominio è l’intero asse reale
= +∞ = −∞
Asintoti orizzontali lim f ( x ) , lim f ( x )
: non ce ne sono, infatti → +∞ → −∞
x x
f ( x ) = −∞
Asintoti obliqui lim
: non ce ne sono, infatti → ±∞ x
x
Crescenza e decrescenza:
= − + > → < <
I 2
y ( x ) 2 x 4 x 0 0 x 2
= − + = → =
II
y ( x ) 4 x 4 0 x 1
= >
II
y ( 0 ) 4 0
= − <
II
y ( 2 ) 4 0
8 4
Per cui ( 0
, 0 ) è un minimo, è un massimo e è un flesso.
2
, 1
,
3 3
Ecco il grafico: ( )
− + − +
3 2 2
x x x x x x
6 12 6 12
= =
y
Iniziamo a studiare la funzione 3 3
Dominio: R ( )
− + − +
3 2 2
x x x x x
6 12 6 12
= = = → =
Intersezione asse ascisse y x
: 0 0
3 3
= → =
Intersezione asse ordinate x y
: 0 0
Positività:
( )
− +
2
x x x
6 12
= > ⇔ >
y x
0 0
3
Asintoti verticali: non ce ne sono visto che il dominio è l’intero asse reale
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
