1992 - problema 2 ordinamento

Sessione ordinaria 1992: liceo scientifico di ordinamento

( ) −

− 2

3 x

2 x 4 x e

2) La funzione f(x) = rappresenti, in opportune unità di misura, la forza a cui è soggetto un punto P libero di muoversi lungo l'asse x.

Sapendo che la forza è data da

dE (x)

= −

f(x) dove E(x) è l'energia potenziale, trovare la funzione E(x) e rappresentarla avendo posto E(0) = -1.

Per quali valori di x il punto P è in equilibrio, ossia per quali valori di x la forza è nulla?

Per tali valori di x l'energia potenziale quale valore assume?

Soluzione di De Rosa Nicola

( ) ( )

dE (x) ∫

= − = −

Dire f(x) è equivalente a dire che per cui innanzitutto calcoliamo

E x f(x) dx

dx

questo integrale: ( ) ( )

( ) ( ) − −

∫ ∫ ∫

= − = − − = − + =

2 2

3 x 3 x

2 4 2 4

E(x) f(x) dx x x e dx x x e dx

( ) ( )

− −

∫ ∫

− + = + =

2 2

3 x x

2 4

x e dx xe dx I I

1 2

( )

−

∫

= 2

x

I 4 xe dx lo si porta a termine rapidamente notando che

Il calcolo di 2 ( )

( ) ( ) ( )

 

− 2

x

( ) d e

− − − −

∫ ∫ ∫ ∫

= = − − = − = − = − +

2 2 2 2

x x x x

 

I 4 xe dx 2 2 xe dx 2 dx 2 d e 2 e K

2  

dx

 

( )

−

∫

= − 2

3 x

I 2 x e dx

Per il calcolo di sfrutteremo l'integrazione per parti.

Ricordiamo la formula generale dell'integrazione per parti:

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

= −

Integrazione per parti

I I

f(x) g(x) dx f(x) g(x) f(x) g(x) dx

* * *

In cui con l'apice I si è indicato il segno di derivata.

Vediamo come ricondurci a questa situazione nel nostro caso: l'integrale riscriviamolo in questo modo:

( ) ( )

− −

∫ ∫

= − = −

2 2

3 2

x x

I 2 x e dx x 2 xe dx

1

E ci siamo ricondotti all'equazione generale dell'integrazione per parti in cui

( ) ( ) −

= = 2

2 x

f(x) x, g(x) e, ed applicando allora questa integrazione per parti si ha:

( ) ( ) ( )

− − − −

∫ ∫ ∫

= − = − = − =

2 2 2 2

3 x 2 x 2 x x

I 2 x e dx x 2 xe dx x e 2 xe dx

1 ( )

− − −

= + = + +

2 2 2

2 x x x 2

x e e e x 1 H