L'energia potenziale e i punti di equilibrio

L'energia potenziale e i punti di equilibrio

Statica

L'energia potenziale e i punti di equilibrio

Statica

Calcolare i massimi ed i minimi e tracciare un grafico approssimativo della seguente funzione:

E(x) = (x² - 1)exp(-x²)

Essa rappresenta in unità S.I. l'energia potenziale di un punto P di massa m, libero di muoversi sull'asse x delle ascisse. Determinare in funzione di x la forza che agisce su P e stabilire per quali posizioni esso è in equilibrio, chiarendo, per ciascuna di esse, se si tratta di equilibrio stabile, instabile o indifferente.

Dopo aver osservato che la funzione E(x) esiste per qualunque valore reale di x e che essa è: positiva per x > 1 e x < -1, negativa per -1 < x < 1 e nulla per x = ± 1, studiamo la sua crescita-decrescenza calcolandone la derivata prima e risolvendo la disequazione E'(x) ≥ 0

E'(x) = 2 x exp(-x²) + (x² - 1)exp(-x²)(-2 x) ≥ 0

Dopo qualche aggiustamento algebrico, si tratta di analizzare la disuguaglianza:

2 x (2 - x²) exp (-x²) ≥ 0

Eliminati dalla (1) i fattori sempre positivi [cioè 2 ed exp(-x²)], otteniamo lo schema di segno dei fattori rimanenti:

• I^o fattore x ≥ 0
• II^o fattore 2 - x² ≥ 0

Si conclude che la derivata: è nulla nei punti x = ±√2 e x = 0; è positiva per x < -√2 e 0 < x < √2; è negativa per -√2 < x < 0 e per x > √2.

Ciò consente di stabilire che per x = ±√2 ci sono due massimi della funzione, mentre in x = 0 c’è un punto di minimo. Inoltre, osservando che:

limE(x)=0x→±∞

(il risultato del limite indica che l’asse delle x è asintoto orizzontale di E(x)), possiamo concludere che i massimi ed il minimo sono assoluti. Sostituendo infine x = ±√2 e x = 0 nella funzione, otteniamo le coordinate complete degli estremanti:

A[-√2; exp(-2)]
C(0; -1)
B[+√2; exp(-2)]

(Figura 8.9.1)

Quanto acquisito finora è sufficiente per tracciare il grafico approssimativo di E(x) (le ordinate positive della Figura 8.9.1 non sono in scala) senza dover analizzare anche la sua derivata seconda. Per quanto riguarda la determinazione della forza F(x) che agisce sul punto P, osserviamo che essa, come è noto dalla teoria, è espressa dalla derivata prima dell’energia potenziale cambiata di segno. Dunque:

F(x) = − E’(x)

Pertanto, ricordando la (1), possiamo scrivere:

F(x) = − 2 x (2 − x²) exp (− x²)