2000 - Liceo scientifico di ordinamento problema 1

Primo quesito maturità 1999-2000: soluzione di De Rosa Nicola che

Allora dovette cimentarsi direttamente col quesito

Testo del quesito

1. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:

∫₀¹ f(x) dx = 2

∫₀² f(x) dx = −5.

a) Di ciascuno dei seguenti integrali:

∫₀² f(x/2) dx, ∫₀² f(x/2) dx, ∫₀⁴ f(x/2) dx, ∫₀² f(2x) dx,

dire se le condizioni [1] sono sufficienti per calcolarne il valore e in caso di risposta affermativa qual è questo.

b) Posto:

f(x) = ax³ + bx + c,

dove a, b, c sono parametri reali con a ≠ 0, determinare le curve di equazione y = f(x) che soddisfano alle condizioni [1].

c) Dimostrare che ognuna delle curve trovate ha uno ed un solo punto di flesso che è centro di simmetria per la curva medesima.

d) Determinare quella, tra tali curve, che ha il flesso nel punto di ordinata −4.

e) Fra le curve suddette determinare, infine, quelle che hanno punti estremanti e quelle che non ne hanno.

Soluzione

1)

a) ∫₀¹ f(x/2) dx.

Sostituzione: t = x/2, x = 2t, dx = 2 dt.

∫₀¹ f(x/2) dx = ∫₀^1/2 f(t) 2 dt.

Non ci sono condizioni sufficienti per calcolarlo.

b) ∫₀² f(x/2) dx.

Con la stessa sostituzione precedente si ha:

∫₀² f(x/2) dx = ∫₀¹ f(t) 2 dt = 4.

c) ∫₂⁴ f(x/2) dx.

Con la stessa sostituzione precedente si ha:

∫₂⁴ f(x/2) dx = ∫₁² f(t) 2 dt = 2∫₁² f(t) dt.

Poiché:

∫₁² f(t) dt = ∫₀² f(t) dt − ∫₀¹ f(t) dt = −5 − 2 = −7,

si ottiene:

∫₂⁴ f(x/2) dx = −14.

d) ∫₀¹ f(2x) dx.

Sostituzione: t = 2x, x = t/2, dx = dt/2.

∫₀¹ f(2x) dx = 1/2 ∫₀² f(t) dt = −5/2.

2)

∫₀¹ (ax³ + bx + c) dx = 2.

Da cui:

[ax⁴/4 + bx²/2 + cx]₀¹ = a/4 + b/2 + c = 2.

Le condizioni conducono quindi al sistema:

a/4 + b/2 + c = 2

con:

∫₀² (ax³ + bx + c) dx = −5.