1989 - problema 2

1989 Sessione ordinaria

2)

In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) è assegnato il fascio di parabole di equazione y = (a + 1)x² − 2(a + 1)x + 1.

Dopo aver verificato che tutte le linee passano per due punti, di cui uno di ascissa nulla, si determinino:

• a) L’equazione della retta r del fascio;
• b) I parametri a' e a'' delle linee del fascio simmetriche rispetto alla retta r ed aventi, nel punto comune di ascissa nulla, tangenti fra loro perpendicolari;
• c) L’area della regione finita di piano delimitata dalle linee così ottenute.

Soluzione di De Rosa Nicola

a)

Per calcolare i punti base del fascio riscriviamo il fascio nel modo seguente:

y = x² − 2x + 1 + a(x² − 2x)

I punti base del fascio si ricavano dalla risoluzione del sistema seguente:

y = x² − 2x + 1

 y = 1



 x² − 2x = 0

⇒

 y = x² − 2x + 1



 x² − 2x = 0

⇒

 y = 1



 x(x − 2) = 0

⇒ x = 0, x = 2

I punti base sono allora A (0, 1), B (2, 1).

Tali punti hanno la stessa ordinata per cui la retta r del fascio è la retta parallela all’asse delle ascisse y = 1.

b)

Le parabole del fascio di parametri a', a'' sono:

y₁ = (a' + 1)x² − 2(a' + 1)x + 1

y₂ = (a'' + 1)x² − 2(a'' + 1)x + 1

Esse sono simmetriche rispetto alla retta di equazione y = 1 e ciò significa che con un ribaltamento rispetto all’asse delle ascisse ed in cascata una traslazione lungo le ordinate di un fattore (2 · 1) dall’una si passa all’altra, cioè la simmetria si traduce in:

y₂ = 2 − y₁