1987 - sessione ordinaria

Maturità scientifica – sessione ordinaria 1986/1987

Soluzione a cura di Francesco Daddi

Maturità scientifica – Sessione ordinaria 1986/1987

1)

In un sistema di assi cartesiani ortogonali è assegnata la famiglia di linee di equazione

+ − − − =

2.

ax (

1 3

a ) x y 3 0

Si individuino in tale famiglia la retta r e le due parabole C’ e C’’ che con la stessa retta formano

9

ciascuna una regione finita di piano avente area . Si dimostri che le due parabole ottenute sono

2

congruenti.

Si scriva inoltre l’equazione della retta parallela all’asse delle ordinate tale che le tangenti a C’ e a

C’’ nei punti di intersezione di essa con le stesse parabole siano parallele.

Soluzione

= + − −

2

Ricaviamo la dall’equazione della famiglia di linee: .

y (

1 3 ) 3

y ax a x

Per determinare la retta della famiglia è sufficiente annullare il coefficiente di secondo grado:

= → = − .

a 0 y x 3

Calcoliamo ora le coordinate dei punti di intersezione della retta r con la parabola generica della

famiglia: = =

⎧ = + − − ⎧ ⎧

2 0 3

x x

(

1 3 ) 3

y ax a x ⎨ ⎨

⎨ da cui le soluzioni e .

= − =

= − ⎩ ⎩

⎩ 3 0

y y

3

y x 9

Imponiamo che l’area tra la generica parabola e la retta sia uguale a 9:

2

3 9

∫ + − − − − =

2 ;

ax a x x dx

[ (

1 3 ) 3 ( 3

)] 2

0

svolgendo i calcoli troviamo:

3 9 9

9 9

∫ =

− = − = =

2 e quindi l’equazione risulta essere: da cui .

a

( ax 3

ax ) dx a a a 1

2 2

2 2

0

In definitiva si ottengono quindi le due parabole:

= − + − = − −

2 2

C’ : ; C’’ : .

y x 4 x 3 y x 2 x 3

Dimostrazione della congruenza

Dimostriamo ora che le due parabole sono simmetriche rispetto ad un punto ;

P ( x ; y )

0 0

Maturità scientifica ‐ sessione ordinaria 1986/1987 Soluzione a cura di Francesco Daddi

= − − + = − +

⎧ ⎧

x ' ( x x ) x x ' x 2 x

0 0 0

⎨ ⎨

la trasformazione del piano ha equazione ovvero ;

= − − + = − +

⎩ ⎩

y ' ( y y ) y y ' y 2 y

0 0 0 = − +

⎧ x x ' 2 x

0

⎨

la trasformazione inversa (si osservi che si tratta di un’involuzione) risulta essere: ;

= − +

⎩ y y ' 2 y 0

nell’equazione della parabola C’ otteniamo:

sostituendo x, y = − + − → − + = − − + + − + −

2 2 e quindi

y x 4 x 3 y ' 2 y ( x ' 2 x ) 4

( x ' 2 x ) 3

0 0 0

= + − + − + +

2 2 ;

y ' ( x ' ) ( 4 4 x ) x ' 4

( x ) 8 x 3 2 y

0 0 0 0

per ottenere l’equazione della parabola C’’ dobbiamo uguagliare l’ultima espressione all’equazione

= − −

2

cartesiana di C’’ ( ) ; arriviamo in questo modo a risolvere il seguente sistema nelle

y x 2 x 3 ⎧ 3

=

x

⎪

− = −

⎧ ⎪

x

4 4 2 0 2

0 ⎨

⎨

incognite da cui .

x , y : − + + = −

0 0 2 3

⎩ ⎪

x x y

4

( ) 8 3 2 3 = −

0 0 0 y

⎪

⎩ 0 2