1991 - problema 2

Sessione ordinaria 1991: liceo scientifico di ordinamento

2) Si consideri in un piano cartesiano ortogonale Oxy la famiglia di parabole tangenti all’asse delle ascisse nel punto A(1, 0).

Detto B il punto d’incontro della generica parabola con l’asse delle ordinate, si studi come varia, al variare della parabola, l’area della regione finita di piano compresa tra la parabola stessa e la retta passante per B, parallela alla bisettrice del secondo quadrante, determinandone in particolare i valori estremi relativi.

Soluzione di De Rosa Nicola

Una parabola generica con asse parallelo all’asse delle y ha equazione del tipo:

y = ax² + bx + c

Ora il passaggio per A(1, 0) impone a + b + c = 0.

La retta passante per (1, 0) ha equazione:

y = m(x − 1)

con m = 2ax + b. Per avere che la tangente coincida con la retta y = 0, come richiesto nella traccia, dobbiamo imporre m = 2a + b = 0, da cui b = −2a.

c = −a − b = a, per cui l’equazione della parabola è:

y = ax² − 2ax + a = a(x² − 2x + 1) = a(x − 1)²

Il punto generico B ha coordinate B(0, a) e la generica retta passante per B e parallela alla bisettrice del 2° e 4° quadrante ha equazione y = mx + a, con m = −1, per cui la retta è:

y = −x + a

Calcoliamo ora i punti comuni tra questa retta e la parabola:

• y = a(x − 1)²
• y = −x + a

ax² − 2ax + a = −x + a

ax² − 2ax + x = 0

x(ax + 1 − 2a) = 0

x = 0, x = (2a − 1) / a

Per x = 0 si ottiene y = a.

Per x = (2a − 1) / a si ottiene:

y = a − x = a − (2a − 1) / a = (a − 1)² / a

Per cui i punti in comune sono B(0, a), C((2a − 1) / a, (a − 1)² / a).

Ora bisogna distinguere due casi: 1) a > 0, 2) a < 0. I grafici in ambo i casi sono sotto rappresentati:

L’area è sempre un valore positivo per cui, per prendere in considerazione ambo i casi, 1) a > 0, 2) a < 0, in cui le aree sono uguali ed opposte come segno, allora nel calcolo metteremo un valore assoluto, cioè:

A = ∫₀^{(2a − 1) / a} |a − x − a(x − 1)²| dx

A = ∫₀^{(2a − 1) / a} |2ax − ax² − x| dx

A = ∫₀^{(2a − 1) / a} |(2a − 1)x − ax²| dx

A = |[(2a − 1)x² / 2 − ax³ / 3]₀^{(2a − 1) / a}|

A = |(2a − 1)³ / (2a²) − (2a − 1)³ / (3a²)|

A = |(2a − 1)³ / (6a²)|