1982 - Problema completo della sessione ordinaria

1982 Sessione ordinaria

Delle seguenti questioni il candidato risolva quelle che ritiene più adeguate alla sua preparazione:

1) Si determinino i coefficienti dell'equazione y = ax³ + bx² + cx + d in modo che la curva da essa rappresentata tocchi la retta y = x nel punto A(1; 1) e la retta y = 0 nel punto B(3; 0). Se ne disegni il grafico. Si calcoli l'area della regione finita di piano delimitata dalle due rette e dall'arco di curva AB.

2) In un sistema di assi coordinati cartesiani si consideri il triangolo equilatero ABC avente il vertice A nel punto (3; 0), il vertice B sull'asse delle ordinate e il vertice C sulla retta x = 3. Si determinino i coefficienti dell'equazione y = ax² + bx + c in modo che la parabola da essa rappresentata passi per i vertici A, B del triangolo e divida questo in due parti delle quali quella determinata dal lato AB sia metà dell'altra.

3) Si studi la funzione y = sen x + cos x nell'intervallo chiuso [0; 2π] e se ne disegni il grafico.

4) Si calcoli la somma per n ∈ N tendente all'infinito.

S = 1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + 1/(3 · 4) + ... + ε/(n(n + 1))

Soluzioni proposte da De Rosa Nicola

Problema 1

Imponendo il passaggio della curva di equazione y = ax³ + bx² + cx + d per il punto A(1,1) si ha la condizione a + b + c + d = 1.

Imponendo invece il passaggio per B(3; 0) si ottiene:

27a + 9b + 3c + d = 0

La condizione per cui la curva tocca la retta y = x in A(1,1) si esprime matematicamente col fatto che la tangente alla curva in A(1,1) ha coefficiente angolare unitario:

y'(x) = lim_{x → 1} [y(x) − 1] / (x − 1) = 1 → 3a + 2b + c = 1

Analogamente, la condizione per cui la curva tocca la retta y = 0 in B(3,0) si esprime matematicamente col fatto che la tangente alla curva in B(3,0) ha coefficiente angolare nullo:

y'(x) = lim_{x → 3} [y(x) − 0] / (x − 3) = 0 → 27a + 6b + c = 0

Alla fine dobbiamo risolvere il sistema seguente di 4 equazioni in 4 incognite:

 a + b + c + d = 1

 27a + 9b + 3c + d = 0

 3a + 2b + c = 1

 27a + 6b + c = 0



Per risolverlo potremo subito applicare Cramer; tuttavia, avendo a che fare con determinanti di matrici 4 × 4, il calcolo diventa molto laborioso. In realtà possiamo ricondurci a studiare un sistema di 3 equazioni in 3 incognite e dopo calcolarci la quarta incognita.

Infatti dalla prima ricaviamo: d = 1 − a − b − c, che sostituita nella seconda fornisce:

27a + 9b + 3c + 1 − a − b − c = 0 → 26a + 8b + 2c = −1

per cui il sistema di 3 equazioni in 3 incognite diventa:

 26a + 8b + 2c = −1

 3a + 2b + c = 1

 27a + 6b + c = 0



Ora applichiamo Cramer, dal momento che sappiamo trattare facilmente determinanti 3 × 3:

a = (−1 · 2 · 1 + 8 · 1 · 0 + 2 · 3 · 1 − 2 · 2 · 0 − 8 · 3 · 1 − (−1) · 1 · 1) / (26 · 2 · 1 + 8 · 1 · 27 + 2 · 3 · 6 − 2 · 2 · 27 − 8 · 3 · 1 − 26 · 1 · 6) = 2/16 = 1/8

b = (−13)/16 = −13/16

c = 6/16 = 3/8

d = 1 − a − b − c = 1 − 1/8 + 13/16 − 3/8 = 9/16

La curva ha quindi equazione:

y = 1/8 x³ − 13/16 x² + 3/8 x + 9/16 = 1/16 (2x³ − 13x² + 6x + 9)

Tale curva ha come dominio tutto R, interseca l'asse delle ascisse in A(1,1) e B(3,0), quello delle ordinate in (0, 9/16), è positiva per x ∈ (−∞, 9/13) ∪ (1/3, +∞) e non presenta asintoti.

Separatamente studiamo la monotonia: le derivate sono:

y'(x) = 3/8 x² − 13/8 x + 3/8 = 1/8 (3x² − 13x + 3)

y'(x) > 0 → x < (13 − √133)/6 ∪ x > (13 + √133)/6

I

y'(x) = 0 → x = (13 ± √133)/6

II y(