1988 - problema 1

1988 Sessione ordinaria

+ 2

1 x

1) Si considerino la funzione f(x) = e la sua funzione primitiva F(x) che assume lo

2

x

stesso valore di f(x) per x = 1. In un piano cartesiano ortogonale (Oxy) si traccino le curve di

equazione y = f(x) e y = F(x) e si determinino le equazioni delle tangenti nei loro punti comuni. Si

calcoli l'area della regione finita di piano delimitata dalle due curve e dalla retta di equazione x = -2.

SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA + 2

1 x

=

Iniziamo a studiare e a tracciare il grafico della funzione f ( x ) 2

x

( ) ( )

− ∞ ∪ +∞

,

0 0

,

Dominio :

Intersezione asse ascisse

: non ce ne sono

Intersezione asse ordinate

: non ce ne sono

Parità o disparità : la funzione è pari

+ 2 ( ) ( )

1 x > − ∞ ∪ +∞

⇒

Positività : f(x) = 0 , 0 0

,

2

x 1

= = = = +∞

Asintoti verticali 0

, lim ( ) lim ( )

x f x f x

: +

+ −

→ → 0

x 0 x 0 +

2

x 1

= = =

Asintoti orizzontali : y 1

, lim f ( x ) lim 1

2

→ ±∞ → ±∞ x

x x

Asintoti obliqui : non ce ne sono

Crescenza e decrescenza :

( ) ( )

− +

2 2

2 x x 2 x x 1 2

= = − > <

⇒

I

y ( x ) 0 x 0

4 3

x x

6

= > ∀ ≠

II

y ( x ) 0 x 0

4

x ( ) ( )

− ∞ +∞

,

0 0

,

Quindi la funzione è crescente in e decrescente in , non presenta estremanti, né

flessi.

Il grafico è il seguente: + 2

1 x

= = =

f ( x ) tale che (

1

) (

1

) 2

Ricaviamo ora una primitiva F(x) della funzione F f

2

x

+

   

2

1 x 1 1

∫ ∫

= = + = − + +

   

F ( x ) dx 1 dx x k

 

2 2

  x

 

x x

= =

Ed imponendo la condizione F (

1

) f (

1

) 2 si ha:

= − + + =

⇒

2 1 1 k k 2

+ −

2

1 x 2 x 1

= − + + =

F ( x ) x 2

Per cui x x + −

2

x 2 x 1

=

Studiamo allora la funzione F ( x ) x

( ) ( )

− ∞ ∪ +∞

,

0 0

,

Dominio : + −

2

x 2 x 1 = = − ±

⇒

Intersezione asse ascisse

: 0 x 1 2

x

Intersezione asse ordinate

: non ce ne sono

+ −

2

x 2 x 1 >

Positività : F (x ) = 0 , si studia separatamente numeratore e denominatore e poi si

x

m