Sessione suppletiva 1981
+ + +
3 2
ax bx cx d
=
3) Si determinino i coefficienti dell'equazione y in modo che la curva da
2
x
essa rappresentata ammetta come asintoto obliquo la retta di equazione y = x - 2, abbia un estremo
nel punto di ascissa x = 2 ed un flesso nel punto di ascissa x = -1. Se ne disegni il grafico. Si
determinino inoltre le intersezioni della curva con l'iperbole equilatera avente per asintoti gli assi
coordinati e passante per il punto (1; 3) e si calcoli l'area della regione finita di piano limitata dalle
due curve.
Soluzione di De Rosa Nicola
Un asintoto obliquo ha equazione generica: = +
y mx q
con ( )
f x
= lim
m → ±∞ x
x [ ]
= −
lim ( )
q f x mx
→ ±∞
x → +∞ e l’altro
Come si può notare dalle formule, esistono due asintoti obliqui uno quando x
→ −∞
x
quando . Nel nostro caso però la funzione è una funzione razionale fratta per cui i due
asintoti destro e sinistro coincideranno, per cui + + +
3 2
f ( x ) ax bx cx d
= = =
m lim lim a
3
→ ±∞ → ±∞
x
x
x x
+ + + + +
3 2 2
ax bx cx d bx cx d
= − = =
q lim ax lim b
2 2
→ ±∞ → ±∞
x x
x x
L’asintoto obliquo per ipotesi è y = x – 2 quindi si ha subito
=
a 1
= −
b 2
La funzione allora avrà una equazione del tipo:
− + +
3 2
x 2 x cx d
=
y 2
x
Calcoliamo ora la derivata prima e seconda:
( ) ( )
− + − − + + − −
2 2 3 2 3
3 x 4 x c x x 2 x cx d 2 x x cx 2 d
= =
I
y ( x ) 4 3
x x
( ) ( ) ( )
− − − − +
2 3 2 3
3 x c x 3 x x cx 2 d 2 cx 3
d
= =
II
y ( x ) 6 4
x x
Per avere un estremante in x = 2 dobbiamo imporre che:
= − − =
I
y ( 2 ) 0 8 2 c 2 d 0
⇒
+ ≠
≠
II 2 c 3
d 0
y ( 2 ) 0 − = =
II
Per avere un flesso in x = -1 dobbiamo imporre che y ( 1
) 0 e cioè c d
3 .
Quindi per determinare i coefficienti rimanenti risolviamo il sistema:
− − = =
c d c
8 2 2 0 3
⇒
= =
c d d
3 1
+ = ≠
c d x
per cui si ha effettivamente un estremo relativo in = 2.
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