1978 - Sessione ordinaria - prova completa

Maturità Scientifica 1977-78

Sessione ordinaria 1977-1978

Soluzione di De Rosa Nicola

Sessione ordinaria

Tempo concesso: 5 ore

Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene più adeguate alla sua preparazione.

1

In un sistema di assi coordinati cartesiani si considerino le due parabole C' e C'' rispettivamente di equazione

y = 2x - x²,  y = x - x²

Nella regione finita di piano delimitata dalle due curve si conducano:

• La retta di equazione y = k (k > ¹⁄₄), sulla quale C' intercetta la corda AB;
• La retta tangente a C'' nel suo vertice, sulla quale la stessa C' intercetta la corda CD.

Si determini per quale valore di k l'area del trapezio ABCD acquista il valore massimo.

2

Si studi la funzione

y = ^{1 + x2}⁄_{1 - x²}

e se ne disegni il grafico. Si scriva l'equazione della circonferenza tangente ai tre rami della curva e si calcolino il perimetro e l'area del triangolo individuato dai tre punti di contatto.

3

Tra le parabole di equazione:

y = ^x2⁄₂ - 3x + k

si individui quella sulla quale la retta di equazione 2y = x + 2 intercetta una corda AB di lunghezza ⁵⁵⁄₄. Condotte in A e in B le rette tangenti alla parabola trovata, si calcoli l'area della regione finita di piano delimitata dall'arco di parabola AB e dalle due tangenti.

4

Gli asintoti di una curva: si illustri il procedimento per determinarli nel caso di una curva rappresentata analiticamente da una funzione razionale fratta.

Problema 1

In un sistema di assi coordinati cartesiani si considerino le due parabole C' e C'' rispettivamente di equazione

y = 2x − x²,  y = x − x²

Nella regione finita di piano delimitata dalle due curve si conducano:

• La retta di equazione y = k (k > 1/4), sulla quale C' intercetta la corda AB;
• La retta tangente a C'' nel suo vertice, sulla quale la stessa C' intercetta la corda CD.

Punto 1

Si determini per quale valore di k l’area del trapezio ABCD acquista il valore massimo.

La parabola C' di equazione y = 2x − x² ha vertice in V' = (1,1), ha concavità verso il basso, ed interseca l’asse delle ascisse in O = (0,0), A' = (2,0).

La parabola C'' di equazione y = x − x² ha vertice in V'' = (1/2, 1/4), ha concavità verso il basso, ed interseca l’asse delle ascisse in O = (0,0), A'' = (1,0).

Nel grafico sottostante vengono presentate le due parabole e le rette di equazione y = k (k > 1/4) ed y = 1/4 che non è altro che la tangente a C'' nel suo vertice:

y = 2x − x²

y = x − x²

y = k (k > 1/4)

y = 1/4

A

B

C

D

Innanzitutto, affinché la retta di equazione y = k intersechi C' nei punti A e B distinti da C e D, deve aversi 1/4 < k < 1.

Calcoliamo i punti A e B: bisogna risolvere il sistema { y = 2x - x²; y = k } e quindi l'equazione x² - 2x + k = 0 A = (1 - 1 - k, k), B = (1 + 1 - k, k).

Calcoliamo i punti C e D: bisogna risolvere il sistema { y = 2x - x²; y = 1/4 } e quindi l'equazione 4x² - 8x + 1 = 0 C = ((2 - 3)/2, 1/4), D = ((2 + 3)/2, 1/4).

Le basi del trapezio isoscele ABCD misurano: AB = 2(1 - k), CD = 3, mentre l'altezza misura h = |y_B - y_D| = |k - 1/4| 1/4 < k < 1 h = k - 1/4, per cui l'area del trapezio ABCD è

S(k) = (AB + CD) · h / 2 = (2(1 - k) + 3)(k - 1/4) / 2 con 1/4 < k < 1.

Calcoliamo la derivata prima della funzione area:

S'(k) = 1/2 [ -1/(1 - k)(k - 1/4) + (2(1 - k) + 3) ] =

= 1/2 [ ((1 - 4k) + 4(1 - k)(2(1 - k) + 3)) / (4(1 - k)) ] = 1/2 [ (9 - 12k + 4 3(1 - k)) / (4(1 - k)) ]

Ora per 1/4 < k < 1,

S'(k) = 1/2 [ (9 - 12k + 4 3(1 - k)) / (4(1 - k)) ] > 0 9 - 12k + 4 3(1 - k) > 0 4(1 - k) > 3(4k - 3)

La soluzione di questa disequazione è l'unione delle soluzioni dei due sistemi seguenti:

{ 4k - 3 < 0; 1 - k > 0 } { 4k - 3 > 0; 16(1 - k) > 3(4k - 3)² }

Nell'intervallo 1/4 < k < 1 il primo sistema è soddisfatto per 1/4 < k < 3/4; il secondo sistema può così essere risolto:

{ 4k - 3 > 0; 48k² - 56k + 11 < 0 } { k > 3/4; 1/4 < k < 11/12 } 3/4 < k < 11/12.

In conclusione S'(k) > 0 1/4 < k < 11/12. Da ciò si evince che l'area è massima per k = 11/12 e tale

area massima vale S_MAX = 1/2 [(2sqrt(1 - 11/12 + sqrt3)(11/12 - 1/4)] = 1/2 [4sqrt3/3 . 2/3] = 4sqrt3/9.

Problema 2

Punto 1

Si studi la funzione y = (1 + x²)/(1 - x²) e se ne disegni il grafico.

• Dominio: D: x (−∞,−1) (−1,1) (1,+∞);
• Intersezioni asse ascisse: (−1,0), (1,0);
• Intersezioni asse ordinate: non ce ne sono;
• Eventuali simmetrie: la funzione è pari;
• Positività: y = (1 + x²)/(1 - x²) > 0 x (−1,1);
• Asintoti verticali: lim (1 + x²)/(1 - x²) = +∞, lim (1 + x²)/(1 - x²) = −∞, lim (1 + x²)/(1 - x²) = −∞, lim (1 + x²)/(1 - x²) = +∞ per cui le rette x = 1 sono asintoti verticali;
• Asintoti orizzontali: lim (1 + x²)/(1 - x²) = −1 per cui la retta y = −1 è asintoto orizzontale;
• Asintoti obliqui: la presenza dell’asintoto orizzontale doppio esclude la possibilità dell’asintoto obliquo essendo la funzione in esame una razionale fratta;
• Crescenza e decrescenza: y' = [2x(1 − x²) + 2x(1 + x²)]/(1 − x²)² = 4x/(1 − x²)² > 0 x (0,1) (1,+∞);
• Flessi: La derivata seconda è pari a y'' = 4(1 + 3x²)/(1 − x²)³ e da essa si evince che i flessi non esistono; inoltre y''(0) = 4 > 0 per cui (0,1) è un minimo.

Il grafico è sotto presentato:

y = (1 + x²) / (1 - x²)

y = -1

Punto 2

Si scriva l'equazione della circonferenza tangente ai tre rami della curva e si calcolino il perimetro e l'area del triangolo individuato dai tre punti di contatto.

Vista la simmetria pari della curva il centro della circonferenza si troverà sull'asse delle ordinate, per cui la generica circonferenza avrà equazione x² + y² + by + c = 0. Inoltre per lo stesso motivo, la tangente al ramo nel semipiano y > 0 deve essere nel punto (0,1). Il passaggio per (0,1) comporta b + c = -1 per cui l'equazione diventa x² + y² + by - (b + 1) = 0. Il parametro b si calcola imponendo la condizione di tangenza tra le due curve. La curva di equazione y = (1 + x²) / (1 - x²) può anche essere riscritta come x² = (y - 1) / (y + 1), che sostituita nell'equazione della circonferenza comporta

(y - 1) / (y + 1) + y² + by - (b + 1) = 0 => y³ + y²(b + 2) - (b + 1) = 0.

La curva y = (1 + x²) / (1 - x²) e la circonferenza x² + y² + by - (b + 1) = 0 hanno in comune il punto (0,1) per cui un divisore della cubica y³ + y²(b + 2) - (b + 1) = 0 è (y - 1): infatti applicando Ruffini e scomponendo si ha y³ + y²(b + 2) - (b + 1) = (y - 1)(y² + (b + 2)y + (b + 2)) = 0. Imponendo la condizione di tangenza sull'equazione (y² + (b + 2)y + (b + 2)) = 0 si ha (b + 2)² - 4(b + 2) = 0 <=> (b + 2)(b - 2) = 0 => b = -2 o b = 2. Ora per b = -2 l'equazione della circonferenza diventa x² + y² - 2y + 1 = 0 <=> x² + (y - 1)² = 0 cioè otteniamo una circonferenza degenere in quanto è una circonferenza che passa per (0,1) ed ha come centro (0,1). Per cui b = -2

va scartato. Per b = 2 l'equazione della circonferenza diventa

x² + y² + 2y - 3 = 0 x² + (y + 1)² = 4 cioè una circonferenza con centro (0,-1) e raggio pari a 2.

Quindi la circonferenza da trovare ha equazione x² + y² + 2y - 3 = 0 x² + (y + 1)² = 4. I punti di tangenza si ricavano dall'equazione (y² + (b + 2)y + (b + 2)) = 0 per b = 2, ed hanno entrambi ordinata pari a y = -2 ed ascisse ricavabili da x² = (y - 1)/(y + 1) con y = -2 e cioè x = ±3. I punti di contatto sono allora A = (0,1), B = (3,-2), C = (-3,-2).

Il grafico sottostante mostra quanto ricavato:

y = (1 + x²)/(1 - x²)

x² + (y + 1)² = 4

A = (0,1)

B = (3,-2)

C = (-3,-2)

Ora AB = AC = ((3)² + (1 + 2)²) = 2 3 = BC, cioè il triangolo ABC è equilatero per cui

2p_ABC = 6 3 e la sua area sarà S_ABC = 3/4 . (2 3)² = 3 3.

Problema 3

Punto 1

Tra le parabole di equazione: y = x²/2 - 3x + k si individui quella sulla quale la retta di equazione 2y = x + 2 intercetta una corda AB di lunghezza 5sqrt(5)/2.

La parabola y = x²/2 - 3x + k ha concavità verso l'alto. Le intersezioni con la retta 2y = x + 2 si trovano risolvendo l'equazione x²/2 - 3x + k = (x + 2)/2 x² - 7x + 2k - 2 = 0. Innanzitutto per avere due soluzioni distinte dobbiamo imporre che il discriminante sia positivo, cioè 57 - 8k > 0 k < 57/8. La risoluzione dell'equazione di secondo grado comporta

A = ((7 - sqrt(57 - 8k))/2, (11 - sqrt(57 - 8k))/4), B = ((7 + sqrt(57 - 8k))/2, (11 + sqrt(57 - 8k))/4).

Ora dobbiamo imporre AB² = 125/4 e quindi

(sqrt(57 - 8k))² + (sqrt(57 - 8k)/2)² = 5/4(57 - 8k) = 125/4 (57 - 8k) = 25 k = 4, valore accettabile in quanto rispetta la condizione k < 57/8. In corrispondenza di k = 4 i punti saranno A = (1, 3/2), B = (6,4) e la parabola sarà y = x²/2 - 3x + 4

Punto 2

Condotte in A e in B le rette tangenti alla parabola trovata, si calcoli l'area della regione finita di piano delimitata dall'arco di parabola AB e dalle due tangenti.

La tangente in A = (1, 3/2) ha equazione y = m_A(x - 1) + 3/2 con

m_A = [d/dx (x²/2 - 3x + 4)]_x=1 = [x - 3]_x=1 = -2 da cui la tangente y = -2x + 7/2.

La tangente in B = (6,4) ha equazione y = m_B(x - 6) + 4 con

m_B = [d/dx (x²/2 - 3x + 4)]_x=6 = [x - 3]_x=6 = 3 da cui la tangente y = 3x - 14. Le due tangenti si intersecano in D = (7/2, -7/2).

L'area da determinare è sotto rappresentata in grigio:

y = -2x + 7/2

y = x²/2 - 3x + 4

y = 3x - 14

A

B

D

L'area da calcolare è pari all'area del triangolo ADB cui va sottratta l'area del segmento parabolico AB. La corda AB di equazione x - 2y + 2 = 0 è perpendicolare alla tangente in A = (1, 3/2) di equazione y = -2x + 7/2, per cui il triangolo ADB è rettangolo in A. Il cateto AB per ipotesi misura 5sqrt(5)/2, mentre il cateto AD = sqrt((7/2 - 1)² + (3/2 + 7/2)²) = 5sqrt(5)/2; quindi il triangolo ADB è rettangolo isoscele e l'area vale A_ADB = 125/8.

L'area del segmento parabolico AB vale A_{seg. par AB} = da 1 a 6 [(x + 2)/2 - (x²/2 - 3x + 4)] dx = da 1 a 6 [-x²/2 + 7x/2 - 3] dx = [-x³/6 + 7x²/4 - 3x] da 1 a 6 = 125/12.

L'ara richiesta vale allora S = 125/8 - 125/12 = 125/24.

Problema 4

Gli asintoti di una curva: si illustri il procedimento per determinarli nel caso di una curva rappresentata analiticamente da una funzione razionale fratta.

In generale, data una funzione di variabile reale ed a valori reali f(x), esistono tre tipi di asintoti: verticali, orizzontali ed obliqui.

Gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti in cui la funzione f(x) non è continua né prolungabile per continuità; gli asintoti orizzontali vanno ricercati a ±, sempre che la funzione esista ed assuma valori finiti a ± ed hanno equazione y = lim _x± f(x); gli asintoti obliqui hanno equazione y = mx + q con m = lim _x± f(x)/x, q = lim _x± [f(x) − mx], sempre che la funzione esista a ± e che i numeri m, q siano numeri reali finiti.

Una funzione razionale fratta può così essere scritta: y = (ⁿ_i=0a_i · xⁱ)/(^k_i=0b_i · xⁱ), con n, k N, a_i, b_i R, cioè è il rapporto tra due polinomi di grado qualsiasi (n quello del numeratore ed k quello del denominatore per come è stata scritta). Gli asintoti verticali per questa funzione vanno ricercati nei punti in cui si annulla il denominatore e contemporaneamente negli stessi punti o non si annulla il numeratore o se si annulla il numeratore si annulla con molteplicità inferiore a quella del denominatore; ad esempio la funzione y = (x² − 1)/(x − 1) non ha asintoto verticale in x = 1 perché x = 1 annulla il numeratore ed il denominatore con la stessa molteplicità (una volta), cioè lo stesso numero di volte; infatti in x = 1 la funzione y = (x² − 1)/(x − 1) è prolungabile per continuità; la funzione

y = (x² − 1)/(x − 1)² ha in x = 1 asintoto verticale in quanto il denominatore si annulla in x = 1 con molteplicità (2) maggiore rispetto a quella del numeratore (1). Per le funzioni razionali fratte la presenza di asintoti orizzontali esclude la presenza di asintoti obliqui. Il viceversa non vale; cioè se non esiste l’asintoto orizzontale non è detto che esista l’asintoto obliquo: infatti se n ≥ k + 2 la funzione y = (ⁿ_i=0a_i · xⁱ)/(^k_i=0b_i · xⁱ) non presenterà né asintoti orizzontali né obliqui. L’asintoto orizzontale

esiste se e solo se n <= k ed in particolare vale y = 0 se n < k, mentre se n = k vale y = a_n/b_n. Se n = k + 1, l'asintoto orizzontale non esiste, ma esiste quello obliquo. In tal caso

m = a_n/b_k = a_k+1/b_k, q = a_k/b_k = a_n-1/b_k.

Ad esempio prendiamo in considerazione la funzione y = (1 + x²)/(1 - x²). Essa può essere ricondotta alla forma generale y = (sum_i=0ⁿ a_i * xⁱ)/(sum_i=0^k b_i * xⁱ) con k = n = 2, a₂ = 1, a₁ = 0, a₀ = 1, b₂ = -1, b₁ = 0, b₀ = 1.

Essa presenta due asintoti verticali nei punti in cui non è definita e cioè in x = 1, -1, infatti

lim_{x -> 1-} (1 + x²)/(1 - x²) = +infinity, lim_{x -> 1+} (1 + x²)/(1 - x²) = -infinity, lim_{x -> -1-} (1 + x²)/(1 - x²) = -infinity, lim_{x -> -1+} (1 + x²)/(1 - x²) = +infinity. Inoltre presenta l'asintoto orizzontale y = a₂/b₂ = -1 e di conseguenza non presenta asintoti obliqui.

Facciamo un ulteriore esempio: consideriamo la funzione y = (x³ + 9x)/(x² + 1). Essa può essere ricondotta alla forma generale y = (sum_i=0ⁿ a_i * xⁱ)/(sum_i=0^k b_i * xⁱ) con k = 2, n = 3, a₃ = 1, a₂ = 0, a₁ = 9, a₀ = 0, b₂ = 1, b₁ = 0, b₀ = 1.

Essa è definita in tutto R per cui non presenta asintoti verticali; non presenta nemmeno quelli orizzontali in quanto n > k; tuttavia presenta quello obliquo in quanto n = k + 1 ed in tal caso i parametri dell'asintoto valgono

m = a_n/b_k = a_k+1/b_k = 1, q = a_k/b_k = a_n-1/b_k = 0.