1981 problema 2

1981 Sessione ordinaria

16

= +

2

2) Si studi la funzione y x e se ne disegni il grafico. Si scrivano le equazioni delle due

2

x

parabole, con gli assi paralleli all'asse delle ordinate, passanti per l'estremo relativo A della curva di

ascissa positiva, per il punto B della curva di ascissa x = 1 e tali che l'area della regione finita di

piano limitata dall'arco AB della curva e da ciascuna delle due parabole sia 7/3.

Soluzione di De Rosa Nicola +

4

16 x 16

= + =

2

Studiamo la funzione y x:

2 2

x x

( ) ( )

− ∞ ∪ +∞

,

0 0

,

Dominio:

Intersezione asse ascisse: non ce ne sono

Intersezione asse ordinate: non ce ne sono

Parità o disparità: la funzione è pari

+

4 ( ) ( )

16 x 16

+ = > − ∞ ∪ +∞

⇒

2

Positività: f(x) = x 0, 0 0

,

2 2

x x 1

= = = = +∞

Asintoti verticali: x 0

, lim f(x) lim f(x) +

+ −

→ → 0

x 0 x 0 = +∞

Asintoti orizzontali: non ce ne sono, infatti lim f(x)

→ ±∞

x

f(x) f(x)

= +∞ = −∞

Asintoti obliqui: non ce ne sono, infatti lim, lim

→ +∞ → −∞

x x

x x

Crescenza e decrescenza:

( )

−

4

32 2 x 16

= − =

I

y(x) 2 x 3 3

x x

( )

− > < − >

⇒

4

x 16 0 x 2

, x 2

> >

⇒

3

x 0 x 0 ( )

−

4

32 2 x 16

= − = > − < < >

⇒

I

y x x

( ) 2 0 2 x 0

, x 2

3 3

x x

96

= + > ∀ ≠

II

y(x) 2 0 x 0

4

x

± = >

II

y(2) 8 0 ( ) ( ) ( ) ( )

− ∪ +∞ −∞ − ∪

2

,

0 2

, , 2 0

, 2

Quindi la funzione è crescente in e decrescente in, non presenta

−

flessi ed ha due minimi relativi in (2

,

8

), (2

,

8

)