Corrente elettrica e campo magnetico

Esercizi su correnti elettriche e campo magnetico

ESAME 13/06/16 ESERCIZIO III

Un cavo cilindrico di raggio R e lunghezza l (l >> R) e' percorso da una corrente la cui densita' e' data dalla formula J = kr.

Calcolare il campo magnetico a distanza R/2 dall'asse del cavo.

(k = 2.86 10⁸ A/m³) R = 1 cm

Considero una linea chiusa di raggio r centrata attorno al conduttore e applico la legge di Ampere:

B dl = mu₀ Jn ds =>

B 2pi r = mu₀ integrare da 0 a r kr 2pi r dr = mu₀ 2k pi r³ / 3 =>

B(r) = mu₀ kr² / 3

B(R/2) = mu₀ kR² / 12 = 3.0 10^-3 T

ESAME 27/06/16 ESERCIZIO III (campo magnetico)

Si vuole il modulo del campo magnetico nel punto P, centro della semicirconferenza di raggio R, generato dal filo in figura percorso da una corrente i. Si assume che i tratti rettilinei siano di lunghezza semi-infinita.

R = 3.0 cm = 0.03 m

i = 3 A

In questo caso il campo magnetico in P e' dato dalla somma dei tre contributi: quello dei due fili rettilinei e quello della semicirconferenza di raggio R.

Consideriamo una di due tratti rettilinei con un sistema di riferimento

Considero un tratto del filo conduttore con i x con l'asse x e considero il vettore che congiunge d_l al punto P.

La legge di calcolo del campo magnetico e data da

dB = mu₀ i d_l x r^ / 4pi r²

Quando dB sono diretti lungo z, noi in direzione ortogonale al piano contenente d e r.

Facendo scorrere di lungo il filo, la somma di dB non variabile e quindi dobbiamo che:

|B| = integral da -infinito a 0 di mu₀ i dl cos? / 4pi r² = mu₀ i / 4pi integral da -infinito a 0 dl cos? / r²

Allora bisogna riferire l'integrale a d? considerando che d? dalla figura si assume che:

r = R / cos?

l = R tg? => dl = R d? / cos²?

Pon l -> 0, ? -> 0 e l -> -infinito, ? -> pi/2

B = integral da pi/2 a 0 di mu₀ i / 4pi . R / cos²? . cos? / R² d? = mu₀ i / 4pi R [ -sin? ]_pi/2⁰ =>

=> B = mu₀ i / 4pi R

Nel nostro caso abbiamo due fili che producono uno stesso campo nel punto P. Quindi il campo contributo totale sara 2B = mu₀i / 2piR

Adesso si mette la stessa procedura per il tratto curvo!

B = mu₀I/4pi (integrale di l x r-hat / r²) = i k I/4pi (integrale di R dtheta / R²) =>

=> B = mu₀I/4piR [theta]_-pi/2^pi/2 = mu₀I/4R

Ci significa che in totale il campo di sopra su P sara:

|B| = mu₀I/R (1/2pi + 1/4) = 5,1553 T

- ESAME 07/11/16 ESERCIZIO III

Consideriamo un sistema costituito da tre fili conduttori rettilinei, paralleli e indefiniti. I due fili estremi si trovano a distanza d0 l'uno dall'altro, sono percorsi da correnti uguali di intensita' I, ma rispettivamente a I1 e I2. Calcolare la forza per unita' di lunghezza agente su uno dei fili esterni quando il filo centrale si trova nella posizione di equilibrio. (I1=2A, I2=4A, I3=6A, d0=5m)

Il filo 3 deve trovarsi in una condizione di equilibrio, cio significa che il campo magnetico agente su di esso deve essere nullo. Il campo totale che agisce sul filo 3 sara' data dalla somma di campi generata dai fili 2 e 1.

B1 = -mu₀I1/2a x i    B2 = mu₀I2/2(d0-x) x i

I segni sono stabiliti dal prodotto vettoriale tra l e r-hat.

Btot = - _u0 I₁ / 2pi x + _u0 I₂ / 2pi (do-x) = 0 => - I₁ / x + I₂ / (do-x) = 0 =>

=> -I₁(do-x) + I₂x = 0 => -I₁do + I₁x + I₂x = 0 =>

=> x(I₁ + I₂) = I₁ do => x = I₁ do / (I₁ + I₂) = 0.01667 m

Adesso calcoliamo la forza che agisce sul filo numero due:

dF₂ = I₂ d_l x B₂

Adesso bisogna calcola il campo B agante sul filo numero due:

B₂ = + _u0 I₃ / 2pi(do-x) - _u0 I₁ / 2pi do = (3.61 * 10^-5 - 8.02 * 10^-6) T =>

=> B₂ = 2.808 * 10^-5 T => B₂ = 2.808 * 10^-5 k

dF₂ = I₂ d_l x B₂ => dF₂ = I₂ dl B₂ i =>

=> dF₂ / dl = I₂ B₂ = 5.616 * 10^-5

ESAME 15/07/16 NUMERO III

Una particella di protone e accelerata, partendo da fermo, facendole attraversare una d.d.p. Delta V. Volendo curvar il fascio di 30 gradi al suo fine per creare una traiettoria circolare di raggio R utilizzando un campo B agente in direzione normale al piano della traiettoria. Determinare il modulo di B.

m = 1.7 * 10^-27 kg

q = 1.6 * 10^-19 C

R = 0.10 m

Delta V = 7.0 * 10⁶ V

La forza di Lorentz che agisce sulla particella sono:

F_L = q v x B => F_L = q v B

questo perche la velocita e parallela al campo elettrico generato dalla d.d.p., che a sua volta e ortogonale a B

La forza di Lorentz e anche uguale alla forza centripeta:

q v B = m v² / R => q B = m v / R

Mette dalle formule per la conservazione di energia elettrica:

1/2 m v² = q Delta V => v = sqrt(2 q Delta V / m)

=> B = m / qR sqrt(2 q Delta V / m) = 1 / R sqrt(2 Delta V m / q) = 3.85 * 10^-1 T

ESAME 12/03/16 ESERCIZIO III

Un fascio di particelle cariche è costituito da protoni e ioni positivi. Esso è accelerato partendo da fermo, applicando una d.d.p. DV. Il fascio entra quindi in una regione di spazio nella quale esiste un campo B la cui direzione è ortogonale al piano sul quale si muove il fascio. Solo l'azione del campo B e due componenti del fascio subiscono una deflessione e si separano. Sapendo che:

• dopo di entrambi hanno percorso una semialferenza essi risultano separati di d;
• il rapporto carica/massa per i protoni è qp/mp = 9,6-10⁷ C/kg.

Calcolare il rapporto carica/massa per gli ioni che compongono il fascio.

DV = 5000V

B = 0.5T

d = 0.05m

Si applica le leggi di conservazione dell'energia ad entrambe le particelle:

1/2 mp vp² = qp DV      1/2 mi vi² = qi DV

Inoltre, esse sono soggette alla forza di Lorentz: Fl = qv x B =>

F = qvB sinζ = qvB     con sinζ = 1

La forza di Lorentz deve essere uguale alla forza centripeta:

qp vp B = mp vp²/Rp     qi vi B = mi vi²/Ri

=>

Rp = 1/B sqrt(2 mp DV/qp)

Ri = 1/B sqrt(2 mi DV/qi)

Sapendo, inoltre, che: 2Rp = 2Pp + d => Ri = Rp + d/2

Otteniamo:

qi/mi = 2 DV/B² / (Rp + d/2)² = 5,3 10⁷ C/kg