Corrente elettrica

Correnti elettriche

Correnti elettriche → Presenza di cariche elettriche dovute ad un campo elettrico.

Cariche libere di muoversi.

Campo elettrico che mette in moto le cariche.

ΔQ / Δt.

dR / dt = i, definizione di corrente.

j = ΔQ / (Δt ΔΣ), densità di corrente.

• Senza campo: Σ J_i = 0.
• Con campo: Σ J_i 0.

Ho sempre un moto disordinato anche in assenza di campo.

M_e = N_e / Vi = dq / dt.

V_e (c_st dq_e) = Σ cos Θ dq.

di = dq + (±e_e) m^-1 N_dt Σ cos Θ.

η = (±e) m^-1 N_dt_dq.

dR = da + (±e_e) m^-1 N_dt Σ.

J_γ = Σ⌊ dE μ, densità di corrente.

C/^C lC / 2r, carica su unità di superficie e di tempo.

Φ (∅) = p ΅F; ē dΣ i, flusso attraverso superficie [C/S$8233;=.S].

Per i semiconduttori.

In generale: ^Ε = J_μ.

Correnti elettriche

Pensare alle cariche elettriche dovute ad un campo elettrico.

Cariche libere di muoversi.

Campo elettrico che mette in moto le cariche.

_Δq/_Δt ^dR/_dt = i, definizione di corrente.

j = _Δq/_{Δt ΔΣ}, densità di corrente.

• Senza campo Σ... = 0.
• Con campo Σ... ≠ 0.

Ho sempre un moto disordinato anche in assenza di campo.

m = _Np / N_tot.

i = dq / dt.

V^e (mod e) Σ cos θ.

dm dV... = E n.

di = dq di... Σ cos θ.

j = (±e) n m V_m, densità di corrente.

C / T, carica su unità di superficie e di tempo.

J = (±e) n m V_m, conduttore elettrico.

Φ(^⇀) = ... m dΣ.

In generale, ̅ = ̅ₑ + ̅ₚ (graph).

Esempio 5.1

CluΣ = A mm².

i = 8 A.

j = 8.5 10²⁸ m^-3.

i = ∫_S J_s n dΣ = j ∫_S dΣ = jΣ = n (-e) ∫_S v_d dΣ.

i = n e ∫_S v_d dΣ = v_d ∫_S dΣ = i = 0.15 mm/s.

Esempio

Flusso stazionario: corrente che entra = corrente che esce.

Modello classico di Drude

Modello classico di Drude.

F = e E.

Il moto dovrebbe essere uniformemente accelerato.

Devo tenere conto degli urti con il reticolo cristallino.

τ_e = tempo medio tra un urto e l'altro.

v_i² = 1/3 v_t² comportamento casuale, sommatorie che vanno.

Induce urti la carica sente il campo attraverso una forza: F = e E.

Δv = e E τ_e / m.

a = e E τ_e.

Σ = e/m.

= (Σ_i e E τ_e) / N.

∫ e^J₀ = e/3.

Σ = j (e E τ_e) / m.

v_d^t = e E τ_e / m.

j = (-e) n Σ v_d^t = - e/m τ_e n E.

σ = m e τ_e / e.

σ = j / 5 E.

5 = conducibilità elettrica, legge di Ohm.

V = V_b - V_a = ∫E·ds → V = Eℓ.

ρ ≡ resistività.

j = i / Σ = 1 / ρ V / ℓ.

i = j Σ = 1 / ρ ΣV / ℓ → V = Ri.

R = ρ ℓ / Σ.

La R dipende dalla resistività del filo e dalla geometria.

dW_e = dq V.

V = iR.

dW_τ = G dt = R i²dt → W_τ = Ri²t.

Il lavoro finisce in calore → effetto Joule.

R = 0 poi superconduttore.

Esempio 5.3

σ_fCu.

ρ_o = 1,6 x 10^-8 Ω m.

j = 2 A / m².

E ?

m = 8,5·10^-8e m^-3.

λ, ℓ, τ, v = 200 Å.

y parametro evocato agli atomi (distanza media tra atomi).

Δt = 1000 Km/s distanza media tra urti.

E = ρ_o j ≈ 3,2 · 10^-8 V/m.

σ_f ≠ m e2 τ / ρ.

j = (n e²) / m E.

v = m / (ρ / ρ_o) n e².

ν_w = m / (ρ / ρ_o) n e² ≤ 2,5·10^-14 s.

Resistenza e circuiti

Resistenza [Ω].

V = ∫ E . dl.

V_a - V_b = - ∫_a^b E . ds = 0 → circuitazione nulla in un circuito chiuso (E conservativo).

Campo elettrico non conservativo all'interno del generatore perché nel generatore avvengono processi chimici di accumulazione e diverso da zero.

V = iR.

V₁ = V_R1 = i R₁.

V₂ = V_R - V₁ = i (R₂ + R₁).

R = R₁ + R₂ in serie.

R_s = ∑ R_i.

i = cost in serie.

La corrente si conserva.

V₁ = R₁i*R = i₁*R₁ = i₁*R₂ → 1 / R = 1 / R₁ + 1 / R₂.

R = 1 / (1 / R₁ + 1 / R₂).

V = costante in parallelo.

Esempio 5.1

V = 1f, a V.

R = R₁ R₂ R₃.

3R₂.

R = R₁ R₂ R₃ = 1 / (1 / 3R₂) = 2R₂ = 3R₂ = 3R₂ / (3R₂ + R₁).

Circuito RC

Circuito RC.

Quando chiudo il circuito, il generatore carica il condensatore che prima era scarico.

ε - Ri + q/C.

dq/dt.

R dq/dt.

Ri.

q/C.

R dq/dt = q/C.

R (dq/dt) = ε - q/C.

RC dq/dt = εC - q.

dq/dt = 1/RC (εC - q).

dq/(q - εC) = -dt/RC.

ln (q - εC) - ln (-εC).

ln (q/εC) = t.

-εC (1 - e^-1/RC).

q - εC = -εCe^-t/RC.

q = εC (1 - e^-t/RC).

Per t = 0, q = 0.

q/εC.

5% → t.

Condensatore carico.

εC.

Ri - q/C.

i = dq/dt = ε/R e^-t/RC.

ε/R e^-t/RC.

Ri = ε/R.

(i = V/R).

ε/Rt.

dW = qdq.

W = q.

q = q = q|W| = qC.

W = C.

Metto W.

L’altra metà: valore dissipato in effetto Joule.

|W| = C.

Scarica del condensatore

Scarica del condensatore.

q = 0 t = t ∞.

q(t=0) q(t).

V = cost.

i = dq/dt q = CV V = q/C.

Carica che diminuisce.

q = V_R q = Ri dq/dt.

dq = dt.

t.

q(t) = qo e^t.

e = R dqo = R e.

Corrente di spostamento

Corrente di spostamento.

i = dq/dt.

i_s = d(Vd)/dt.

i_s = d(CV).

C = i_s = E B.

Ogni volta che un campo cambia nel tempo, è come se ci fosse una corrente addizionale ma non legata ai trasporti di cariche.

Leggi di Kirchhoff

Leggi di Kirchhoff.

Maglia circuito chiuso.

Ε = V_R + R·i.

In una maglia: Σ E_i − Σ R_i·i_i.

I^a legge di Kirchhoff.

Corrente con il segno per una unica maglia.

In un nodo la corrente entrante è uguale alla corrente uscente.

In un nodo Σ i_i = 0.

II^a legge di Kirchhoff, legge della conservazione della carica.

Ogni generatore ha in realtà una resistenza interna r_i.

Σ = 1 − m_x e^λ τ.

σ_i = ρ^!(τ).

Dipende dalla temperatura maggiore τ₁, minore τ₂.

Esercizio 5.2

a_o = 1 × 10⁻² mol = 2,5 mm.

alt = 2,5 mm.

d_i = 2,0 mm.

e = ?

V = ?

β = ?

Σ = π (d/l) / 2.

j = i / Σ = 5 A / mm².

E = i / (&uperp;&uop; s)_c = 0,987 V/m.

V = E · p = 0,7 qV.

β = V / π = r / b² = ! cos w.

Esercizio 5.4

p_i = 1,7 × 10⁻⁵ m.

p_ae = 2,4 × 10⁻⁶ m.

b = 0,25 mm.

j = 2A.

i₁ + i₂ + i₃.

i₁ e il a_o Σ^o Σ_z (b² o²).

i₂ Σ₂ o² Σ.

E₁ = V, segnale per C_j a_ae.

E₂ Σ_z uguali.

i₃ Σ_z Σ_ae.

E_i 1 = pra_c.

i₂ i₁ + i₂.

E₁ = pra_c pr_ae.

po_ae pra_c Σ_ae.

E₁ + 0,9 om.

E = l / Σae = 87 mVm (b_c ß o² o²) m.

Esercizio 5.5

d = 2 cm.

a = 5 mm.

b = 2 cm.

ξ = 20 V.

ρ: ?

j: ?

i: ?

(Semi-conduttore).

a) i = ξ/R.

R = ρ ℓ/Σ.

Σ = π (b² - a²).

R = ρ ℓ/π(b² - a²).

i = ξ / [(ρ ℓ) / (π(b² - a²))]= 23.6 mA.

Q = Ri² = 0.6 GW.

j = i/Σ.

σ = τ (b + a).

b) i = Σ j.

σ = τ (b + a).

Σ = 2π r δr.

dR = ρ / Σ.

R = ∫ρ dr/2πr δ.

i = [E = ξ] R₁.

R = [ρ / 2πa] ln(b/a).

j = ξ_b = i/Σ.

Q = 2π δ ω.

Esercizio 5.9

ρ = 1.8 · 10^-8 Ω m.

j = 6.5 A/mm².

d = 0.5 A/nm².

E: ?

v_d?

m: 8.5 · 10²⁸ omn.?

E = ρ j = 9.85 · 10⁷ V/m.

v_d = me j / n e.

ξ / d = π^x.

v_d = x 3.5 · 10^-5 m/s.

j = me δ.