Corrente elettrica e condensatori

CORRENTE ELETTRICA

- CONDUZIONE ELETTRICA

In questo capitolo abbandoniamo la staticita per parlare di cariche in movimento, ma gli elettroni che si muovono all'interno del conduttore con velocita dell'ordine di 10⁶ m/s. Tuttavia questo moto e completamente disordinato e non esiste una direzione preferenziale per gli elettroni. Cio si verifica quando il loro moto non e disturbato da campi esterni; infatti abbiamo gia visto che collegando due condensatori C1 e C2 con differente potenziale V1 e V2, si verifica un moto di elettroni sotto l'azione del campo elettrico E (non conservativo) generato dalla differenza di potenziale tra i due condensatori. Questo moto ordinato di elettroni in una certa direzione costituisce una CORRENTE ELETTRICA, con il fenomeno detto CONDUZIONE ELETTRICA. In questo caso, quindi, la corrente elettrica dura soltanto un tempo molto breve.

Questo significa, che per avere una corrente stabile bisogna utilizzare un dispositivo capace di mantenere una certa differenza di potenziale tra due punti del conduttore, questo dispositivo e chiamato GENERATORE DI CORRENTE ELETTRICE (f.e.m.)

L'esempio piu noto e la pila che genera un DV tra due punti di un circuito e da conseguenza un comp E, sotto l'azione del campo gli elettroni si muovono con velocita costante (il mob non si accelera a causa della presenza di una forza sulle particelle del conduttore) detta VELOCITA DI DERIVA molto piu piccola della velocita degli elettroni e che e dovuta consente a E.

DENSITA DI CORRENTE

Supponiamo che in un conduttore vi sia un campo elettrico responsabile del movimento degli elettroni. Se individuiamo, all'interno del conduttore, una superficie elementare infinitesima di area dS, la carica che transita nell'unita di tempo attraverso questa superficie e l'INTENSITA DI CORRENTE MEDIA definita da i = Delta q / Delta t; di conseguenza, l'INTENSITA DI CORRENTE ISTANTANEA e:

i = lim_{Delta t -> 0} Delta q / Delta t = dq / dt

Adesso mettiamo in relazione l'intensita di corrente con il moto delle cariche, per far cio consideriamo la superficie cilindrica di S la cui normale forma un angolo theta con la velocita di deriva, cioe con E.

Nel tempo Delta t le cariche percorrono una distanza vd * Delta t, per cui la carica che passa per dS nel tempo Delta t e quella contenuta nel volume infinitesimo di E definito da dS e Delta t, cioe:

dV = va * Delta t * dS * cos theta

La carica che si e spostata e:

Delta q = ne * e * dV = ne * e * va * Delta t * dS * cos theta =>

dq = ne * e * dS * va * cos theta

Allora possiamo definire la DENSITA DI CORRENTE J come:

J = ne * e * va

Da questo formula possiamo ricavare l'INTENSITA' DI CORRENTE

di = j · un dS => i = ∫ j · un dS

che definisce il flusso del vettore densita' di corrente attraverso la superficie S. Nel caso in cui j sia uniforme e ortogonale alla superficie si dice che:

i = j S => j = i/S

Tuttavia nei conduttori, sono le cariche negative a muoversi allora: j = -ne · v_d

Abbiamo supposto implicitamente che il verso della corrente e quello stabilito dal moto della carica positiva, quindi opposto a quello degli elettroni.

L'unita di misura della corrente elettrica e [A] AMPIRE, quella della densita di corrente [A/m²]

- LA FORZA ELETTROMOTRICE

La f.e.m. di un generatore e il rapporto tra il lavoro che esso compie per spostare una carica q lungo il circuito, fra le cose stese.

f.e.m = W/q = [J]/[C] = [V] = Volt

M.B. Come si puo notare dalle definizioni la f.e.m. non e una forza ma un potenziale

La forza elettromotrice di un generatore ideale e anche uguale alla differenza di potenziale che esso mantiene ai propri estremi.

LEGGE DI OHM

In un conduttore sottoposto a differenza di potenziale il legame tra J e il campo elettrico E e dato da:

J = aE

con a CONDUCIBILITA ELETTRICA (caratteristica del materiale)

Il fenomeno e detto LEGGE DI OHM DELLA CONDUCIBILITA ELETTRICA. Spesso pero, questa relazione e indicata con la seguente forma:

E = ?J

con ? = 1/a RESISTIVITA DEL CONDUTTORE

Cio significa che maggiore e la resistivita del conduttore e minore e la densita di corrente che puo circolare in un conduttore.

Adesso applichiamo le legge di Ohm a un conduttore metallico cilindrico di lunghezza l e sezione S, ai cui capi vi e una d.d.p. 1V, per cui si ha:

E = ?J = ?I/S

Dalla differenza di potenziale elettrica si ha: 1V = integrale E ds = El

1V = El = ?l/S * i con ?l/S detta RESISTENZA R

[R] = Ohm

1V = Ri

LEGGE DI OHM PER CONDUTTORI METALLICI

N.B. la resistivita ? nella maggior parte dei conduttori metallici e funzione della temperatura: ? = ?0C (1 + ?t)

con ? coefficiente termico (positivo per la maggior parte dei metalli).

POTENZA E EFFETTO JOULE

Qualunque dispositivo ai cui capi si mantenga una d.d.p. V ed assorba una corrente i, necessita di una potenza P per mantenere

moltiplica la d.d.p. Quindi, si considera una carica dq che si muove tra i morsetti di un dispositivo, cioe si muove in una zona in cui e presente una differenza di potenziale V, verra compiuto un lavoro in seguito al suo spostamento pari a:

dW = V dq = V i dt => P = dW/dt = V i

con P potenza spesa. Si vale la legge di Ohm:

P = R i² = V²/R

Questo fenomeno e trasdotto dal conduttore il quale si scalda per effetto Joule in e l'effetto dell'ingrosso di tale energia.

Questo accade perche il lavoro necessario a muovere la quantita ingota del metallo del conduttore al moto degli elettroni

R = ∫₀^t P dt = ∫₀^t R i² dt = R i² t viene assorbito dal conduttore e trasformato in calore.

RESISTENZE IN SERIE E IN PARALLELO

Pi resistori si dicono in SERIE quando la corrente che li attraversa e la stessa. Si trovano una resistenza equivalente lunga considerando che agli estremi della catena lunga mantiene una stessa d.d.p.

ΔV₁ = R₁ i    ΔV₂ = R₂ i

ΔV_tot = ΔV₁ + ΔV₂ = (R₁ + R₂) i = R_eq i

=> R_eq = R₁ + R₂

Pi resistori si dicono in PARALLELO quando hanno la stessa differenza di potenziale, mentre sono differenti la corrente che scorre in ognuna di esse.

i₁ = V/R₁ ; i₂ = V/R₂

Quando la corrente si suddivide solo la legge: i = i₁ + i₂ =>

i₁ + i₂ = V(1/R₁ + 1/R₂) = V/R_eq => 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂

LEGGI DI KIRCHHOFF

Fatto distintivo all'interno di un circuito elettrico sono i nodi, che sono punti di contatto nel quale convergono almeno tre tratti di conduttore differente, e i rami che sono tratti di collegamento tra due nodi. Per risolvere problemi legati ai circuiti si utilizzano le leggi di Kirchhoff.

1) Legge dei nodi:

La somma algebrica delle correnti che confluiscono in un punto e nulla: _Σ i_k = 0.

Si tratta di una generalizzazione del principio di conservazione della carica.

2) Legge delle maglie:

Se si considera un percorso chiuso all'interno di un circuito, all'interno del quale viene fissato un verso di percorrenza per la corrente, la somma algebrica delle forze elettromotrici nei rami della maglia e uguale alla somma algebrica del prodotti R_kI_k, cioe uguale alla somma delle cadute di potenziale.

_Σ R_kI_k = _Σ E_s

Va essere da seguire quando si applicano queste leggi sono:

• si sceglie arbitrariamente un verso di percorrenza nella maglia
• si ha corrente i concorde al verso scelto e termore RkIk e' positivo

- CARICA DI UN CONDENSATORE

Considero un condensatore che viene collegato ad un generatore di f.e.m., tramite due cavi conduttori con una resistenza R e osserviamo il processo di carica:

Volendo il circuito attivando le leggi della maglia si ottiene:

E - iR - q/C = 0 => E - dq/dt R - q/C = 0 =>

=> E = dq/dt R + q/C

Abbiamo ottenuto un'equazione differenziale che bisogna, poi, integrare

E - q/C = dq/dt R => dq/(E - q/C) = dt/R => dq/(q - EC) = -dt/RC =>

=> |int₀^q dq/(q - EC) = int₀^t -dt/RC => ln((q - EC)/(-EC)) = -t/RC =>

=> q - EC = -EC e^-t/RC => q(t) = EC(1 - e^-t/RC)

Si calcola la densita di q rispetto al tempo, si ottiene i:

i(t) = dq/dt = CE/CR e^-t/RC => i(t) = E/R e^-t/RC

con RC = tau detta costante di tempo capacitiva.

Dall'andamento di questa equazione, deduciamo che la corrente e massima al tempo t = 0 (1 - E/R?)

intervalle di tempo 1: c esso si riduce al 37% e cos una seconda l'andamento esponenziale della funzione.

Considerando la curva, si potra risolvere completo gia per 3ε (95%) e il suo valore massimo e q_max = CV.

Scarica di un condensatore

Adesso consideriamo il piccolo circuito, condensatore in condensatore C con carica q₀ posta in un circuito di resistenza R con un interruttore I, aperto. La differenza di potenziale ai capi del condensatore e V₀ = q₀/C e la sua energia elettrostatica e U₀ = q₀²/2C.

All'istante di tempo t₀ = 0 si chiude l'interruttore I, in questo modo la carica nel condensatore passera dall'armatura a potenziale maggiore verso quella a potenziale minore, dando luogo ad una corrente i = -dq/dt, dove il segno meno indica che la quantita sta diminuendo nel tempo.

Nel circuito restante I la differenza di potenziale ai capi del condensatore e pari a quella ai capi della resistenza (per la legge della maglia), quindi vale:

V_C = q/C = V_R = Ri;

i = -dq/dt => dq/dt = -q/RC

(integral expression) ln(q/q₀) = - t/RC => q(t) = q₀ e^-t/RC

V_c(t) = q/C = q₀/C e^-t/RC = V₀ e^-t/RC

i = - dq/dt = q₀/RC e^-t/RC = V₀/R e^-t/RC

Cio' significa che la carica, la differenza di potenziale e la corrente nel circuito, diminuiscono esponenzialmente nel tempo con una rapidita' contenuta della costante di tempo tau = RC.

CORRENTI DI SPOSTAMENTO

Fino a questo momento la corrente e' stata intesa come movimento di cariche tra punti di un circuito. Pur nel caso di carica e scarica di un condensatore non si e' stato un passaggio di cariche tra gli armature delle stesso, pur se e' registrata una corrente i(t).

Ipotizziamo, allora, l'esistenza di una corrente i_s non dovuta al moto delle cariche che avviene tra le armature del condensatore.

Si ipotizza che questa corrente sia dovuta al fatto che la carica q sia variabile nel tempo:

i_s = i = dq/dt = d(CV)/dt = epsilon₀ d(S V/h)/dt = epsilon₀ d(S E)/dt = epsilon₀ dphi(t)/dt

Questo risultato indica che l'origine di questa corrente sia la variazione nel tempo del flusso del campo elettrico, attraverso la superficie del condensatore. Questa corrente prende il nome di CORRENTI DI SPOSTAMENTO.