Dal problema al modello matematico - Volume 2 per il triennio

Volume secondo

Per il triennio

Carmelo Di Stefano

Dal problema al modello matematico

Volume secondo

Per il triennio

http://mathinterattiva.altervista.org/E-Book.htm

Edizione riveduta e corretta e arricchita di collegamenti multimediali.

Agosto 2019

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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

• All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le conoscenze.
• In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che … vogliono sapere di più.
• Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
• Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
• Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
• Intervallo matematico, Giochiamo alla matematica. Vi sono anche dei box chiamati o che si riferiscono, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
• Tenuto conto delle ultime riforme scolastiche, in particolare della prova multidisciplinare dell’Esame di Stato, che riguarda la matematica e la fisica, ogni tanto troverai anche L’angolo della MateFisica, in cui sono trattati argomenti di fisica attinenti a quelli di matematica sviluppati nell’unità. In particolare vengono presentati e, a volte svolti, quesiti assegnati agli Esami o nelle Simulazioni che il Ministero prepara durante l’anno.
• Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
• Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
• Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
• Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
• Alla fine di ogni unità vi sono le attività di recupero, formate essenzialmente da una serie di esercizi svolti, da completare e da svolgere interamente.
• Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito http://mathinterattiva.altervista.org.
• Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.
• Vi sono anche diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora.

Buon lavoro da Carmelo Di Stefano

ii

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1

Indice

5. Funzioni esponenziali e logaritmiche

5.1 Esponenziali

Richiamiamo le conoscenze Pag. 8

Verifiche 10

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 13

Questions in English 14

Uso della calcolatrice per il calcolo di una potenza 14

Potenze ad esponente reale 15

Verifiche 17

Equazioni e disequazioni esponenziali 18

Verifiche 20

Giochiamo alla matematica 27

L’angolo di Derive 27

L’angolo di Microsoft Mathematics 27

La sfida 28

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 28

Questions in English 29

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29

5.2 Logaritmi

Concetto di logaritmo e curva logaritmica Pag. 31

Verifiche 35

Proprietà dei logaritmi 39

Verifiche 41

Intervallo matematico 48

Equazioni e disequazioni logaritmiche 49

Verifiche 51

L’angolo di Derive 56

L’angolo di Microsoft Mathematics 56

L’angolo della MateFisica 56

La sfida 58

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 59

Questions in English 61

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 62

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 63

6. Geometria dello spazio ambiente

6.1 Rette e piani nello spazio

Richiamiamo le conoscenze Pag. 65

Postulati ed enti primitivi della geometria euclidea dello spazio 66

Posizioni reciproche di piani nello spazio 67

Posizioni reciproche di rette nello spazio 68

Gli angoli diedri 69

Perpendicolarità nello spazio 70

L’antologia 72

Verifiche 73

L’angolo di Cabri3D 77

L’angolo di Geogebra 77

La sfida 77

Temi assegnati agli esami di stato 77

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 78

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 78

6.2 Geometria dei poliedri

Richiamiamo le conoscenze Pag. 80

I poliedri 81

Verifiche 85

I prismi 87

Verifiche 89

Le piramidi e i tronchi di piramide 93

Verifiche 96

I poliedri regolari 101

Verifiche 104

I poliedri semiregolari 108

Verifiche 111

L’angolo di Cabri3D 112

L’angolo di Geogebra 112

La sfida 113

Temi assegnati agli esami di stato 114

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 115

Questions in English 116

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 117

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 119

6.3. Geometria dei solidi di rotazione

Richiamiamo le conoscenze Pag. 121

Il cilindro, il cono e il tronco di cono 122

Verifiche 125

La sfera e le sue parti 130

Verifiche 136

L’angolo di Cabri3D 141

L’angolo di Geogebra 141

La sfida 141

Temi assegnati agli esami di stato 142

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 142

Questions in English 143

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 144

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 145

6.4. Il volume

Concetto di volume e volume dei poliedri Pag. 147

Verifiche 152

Volume dei corpi rotondi 155

Verifiche 157

La sfida 159

Temi assegnati agli esami di stato 159

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 162

Questions in English 163

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 165

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 166

6.5. Geometria analitica in 3D

Geometria degli spazi a più di 2 dimensioni Pag. 168

Verifiche 171

Piani e rette nello spazio cartesiano 174

Verifiche 180

L’angolo della MateFisica 184

L’angolo di Geogebra 183

La sfida 184

Temi assegnati agli esami di stato 185

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 187

Questions in English 187

7. Goniometria e trigonometria

7.1 Risoluzione dei triangoli

Richiamiamo le conoscenze Pag. 189

Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli acuti 191

Verifiche 197

Risoluzione dei triangoli rettangoli 202

Verifiche 205

L’angolo delle correzioni 214

Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema dei seni 215

Verifiche 221

Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema del coseno 227

Verifiche 231

L’angolo delle correzioni 239

L’angolo di Microsoft Mathematics 240

L’angolo della MateFisica 240

La sfida 242

Temi assegnati agli esami di stato 244

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 249

Questions in English 251

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 253

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 253

7.2 Goniometria

Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli qualsiasi Pag. 255

Verifiche 259

Unità di misura in radianti e rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche elementari 265

Verifiche 271

L’angolo di Geogebra 280

L’angolo della MateFisica 280

Temi assegnati agli esami di stato 283

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 284

Questions in English 285

Quelli che vogliono sapere di più … Riferimento polare 286

Verifiche 286

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 287

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 288

7.3 Equazioni e disequazioni goniometriche

Risoluzione di equazioni goniometriche elementari Pag. 290

Verifiche 293

Equazioni omogenee in seno e coseno 302

Verifiche 303

Disequazioni goniometriche 307

Verifiche 308

Temi assegnati agli esami di stato 314

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 314

Questions in English 315

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 315

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 316

7.4 Formule goniometriche

Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione degli archi Pag. 318

Verifiche 328

Equazioni lineari in seno e coseno 346

Verifiche 349

Formule di prostaferesi e di Werner 352

Verifiche 354

L’angolo della MateFisica 358

La sfida 359

Temi assegnati agli esami di stato 361

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 363

Questions in English 364

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 365

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 365

7.5 Forma trigonometrica dei numeri complessi

Richiamiamo le conoscenze Pag. 367

Forma trigonometrica, radici ennesime dei numeri complessi e piano di Argand–Gauss 368

Verifiche 372

Quelli che… vogliono sapere di più

Il campo dei numeri complessi 375

ℂ

Equazioni in 376

Verifiche 378

La sfida 381

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 383

Questions in English 384

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 384

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 384

8. Successioni di numeri reali

8.1 L’insieme dei numeri naturali

Assiomi dei numeri naturali Pag. 386

Il concetto di insieme infinito e di numerabilità 387

L’Antologia 387

Verifiche 392

Giochiamo alla matematica 392

Il Principio di induzione 393

Verifiche 395

La sfida 397

Temi di esame assegnati agli esami di stato 398

8.2 Combinatoria

Raggruppamenti semplici e con ripetizione e principio dei cassetti Pag. 400

Verifiche 401

Disposizioni semplici e ripetute 404

Verifiche 406

Permutazioni semplici e ripetute 408

Verifiche 410

Combinazioni semplici e ripetute 413

Verifiche 419

Quesiti di riepilogo 423

L’angolo di Derive 424

L’angolo di Microsoft Mathematics 424

La sfida 424

Temi di esame assegnati agli esami di stato 425

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 426

Questions in English 430

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 431

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 432

8.3 Progressioni numeriche

Progressioni aritmetiche Pag. 434

Verifiche 437

Progressioni geometriche 440

Verifiche 442

La sfida 444

Temi assegnati agli esami di stato 445

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 445

Questions in English 448

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449

5. Esponenziali e logaritmi

5.1 Esponenziali

Prerequisiti

• Concetto di numero reale
• Elevamento a potenza di esponente intero o razionale
• Proprietà delle potenze
• Uso della calcolatrice

Obiettivi

• Comprendere il concetto di potenza a base ed esponente reale
• Sapere usare le proprietà delle potenze
• Sapere usare la notazione esponenziale
• Sapere impostare e risolvere semplici problemi relativi agli esponenziali
• Comprendere il concetto di logaritmo
• Saper calcolare logaritmi in qualsiasi base usando la calcolatrice scientifica
• Sapere usare i logaritmi per semplificare numeri a molte cifre

Contenuti

• Esponenti di base reale ed esponente intero o razionale
• Potenze a base ed esponente reale
• Equazioni e disequazioni esponenziali
• Applicazioni delle equazioni esponenziali alla risoluzione di problemi del mondo reale

Parole chiave

Base – Esponente 7

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1

Richiamiamo le conoscenze

Esponenti di base reale ed esponente intero o razionale

L’operazione di elevamento di un numero a una potenza intera positiva non è altri che una generalizzazione dell’operazione di moltiplicazione.

Definizione A base esponente

Diciamo potenza di il numero reale e di il numero naturale il prodotto di fattori uguali

a b, b

ad a.

Notazione A b

La potenza di alla si indica con .

a b a

Dalla stessa definizione nascono immediati risultati di facile dimostrazione, perciò omesse.

Teorema A ·

+

b c b c b c b – c b c b c

∈ ∈ ∈

· ℕ ℕ ℕ

Si ha: = , ; : = , , 0; (a ) = ,

a a a b, c a a a b, c a a b, c

≠

Esempio A ·

3 5 2 4 3+5 2 4 3+5 – 2 4 6 4 24

·

Abbiamo: [(2 2 ) : 2 ] = [2 : 2 ] = [2 ] = 2 = 2 .

Sempre sfruttando i risultati del Teorema A, possiamo generalizzare il concetto di potenza ad esponenti numeri interi relativi.

Esempio B 4

3 1

4 6 –2 4 6 = =

3 : 3

Per la seconda proprietà del Teorema A si ha: 3 : 3 = 3 . D’altro canto si ha anche: .

2

6 2 3

3

1

− 2 =

3

Pertanto possiamo dire che si ha: .

2

3

Possiamo allora porre la seguente definizione.

Definizione B 1

− b =

Per ogni numero naturale e per ogni numero reale diverso da zero si ha: .

a

b a, b

a

Possiamo generalizzare il concetto di potenza anche agli esponenti nulli, sempre usando la proprietà già vista.

Esempio C

3 3 0 3 3 0

Si ha: 5 : 5 = 5 , ma anche: 5 : 5 = 1. Pertanto possiamo dire che si ha: 5 = 1.

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