Sistemi LTI

Capitolo 3 – Sistemi LTI a Tempo Continuo

Documento di Studio per l'Esame

1. DEFINIZIONI IMPORTANTI

1.1 Segnali Notevoli

Gradino unitario: 1 t ≥ 0

1(t) = { ​ ​

0 t < 0

Segnale ritardato: , con .

u(t) = f (t − Δ) ⋅ 1(t − Δ) Δ > 0

Segnale canonico: n

t 1(t)

r ( t) =

n ​ ​

n!

: gradino; : rampa; : parabola.

n = 0 n = 1 n = 2

Segnale esponenziale: , .

αt

u(t) = e 1(t) α ∈ R

n

Rampa esponenziale: t αt 1(t)

f ( t) = e

n ​ ​

n!

Segnale sinusoidale / cosinusoidale:

jωt −jωt jωt −jωt

e − e e + e

sin(ωt) 1(t) = 1(t), cos(ωt) 1(t) = 1(t)

​ ​

2j 2

Delta di Dirac: , con per , altrove.

δ(t) = lim δ ( t) δ ( t) = 1/ε 0 ≤ t ≤ ε 0

ε→0 ε ε

​ ​ ​

+∞ +∞

Proprietà: ; ; .

d

∫ δ(t) 1 ∫ f δ(t a) dt = f (a) δ(t) = 1(t)

dt = (t) −

​ ​ ​

dt

−∞ −∞

1.2 Trasformata di Laplace

Definizione: Sia per e per . La trasformata di Laplace è:

αt

f (t) = 0 t < 0 ∣f (t)∣ ≤ M e t ≥ t 0 ​

+∞ −st

F (s) = L[f (t)] = ∫ f e C

(t) dt, s ∈

0

Converge per (ascissa di convergenza).

Re[s] > α

Antitrasformata di Laplace: γ +jω

1

−1 st

f (t) = L lim ∫ F e γ α

(s) ds, >

[F (s)] = ​ ​

ω→+∞

2πj γ −jω

Funzione razionale fratta :

F (s) = N (s)/D(s)

• Strettamente propria: deg N < deg D

• Propria: deg N = deg D

• Impropria: deg N > deg D

1.3 Funzione di Trasferimento

Dalla rappresentazione i/o: m

b s + ⋯ + b s + b

m 1 0

​ ​ ​

G(s) = ​

n n−1

s + a s + ⋯ + a s + a

n−1 1 0

​ ​ ​

Dalla rappresentazione i/s/o: :

ẋ = Ax + B u, y = C x + Du

−1

G(s) = C (sI − B D

A) +

Poli e zeri:

• Poli: radici di (= radici del denominatore di ) — sono anche detti polinomio

det(sI − A) = 0 G(s)

caratteristico.

• Zeri: radici del numeratore .

n(s) = 0

Modi del sistema: funzioni del tempo che compongono la risposta libera, ciascuno associato a un polo

del polinomio caratteristico.

Matrice esponenziale: ∞ i 2

t t

At i 2

=

= +

e ∑ A I + At + A ⋯

​ ​ ​

i! 2!

i=0

Unica matrice t.c. e .

Φ˙ (t) = AΦ(t) Φ(0) = I

2. FORMULE DA MEMORIZZARE

2.1 Tabella Trasformate di Laplace Condizione

f (t) ⋅ 1(t) F (s)

1

1(t) Re[s] > 0

​

s sempre

δ(t) 1

1

αt

e Re[s] > α

​

s − α

n

t 1 Re[s] > 0

​ ​

n+1

n! s

n 1

t αt

e Re[s] > α

​

n+1

​ (s − α)

n! ω

sin(ωt) Re[s] > 0

​

2 2

s + ω

s

cos(ωt) Re[s] > 0

​

2 2

s + ω

2.2 Proprietà della Trasformata di Laplace Dominio di

Proprietà Dominio del tempo s

Linearità α f + α f α F + α F

1 1 2 2 1 1 2 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Ritardo temporale −Δs

f (t − Δ) 1(t − Δ) F (s) e

Traslazione in γt

s f (t) e F (s − γ )

Derivata temporale ˙

(t)

f sF (s) − f (0)

​

Derivata -esima (n) n n−1 (n−1)

(t) (0)

n f s F (s) − s f (0) − ⋯ − f

d

Derivata in − (s)

s t ⋅ f (t) F

​

ds

t 1

Integrazione (τ ) dτ

∫ f F (s)

​ ​

s

0

Convoluzione t (t −

f ∗ g = ∫ f τ )g(τ ) dτ F (s) ⋅ G(s)

​

0

2.3 Risposta Totale nel Dominio di Laplace

Rappresentazione i/o: Y (s) = Y ( s) + G(s) ⋅ U (s)

l ​ ​ ​ ​

risp. libera risp. forzata

: strettamente propria, dipende da condizioni iniziali. Il denominatore di e di coincide: è il

Y (s) Y G

l l

​ ​

polinomio caratteristico.

Rappresentazione i/s/o: −1 −1

X (s) = (sI − (sI − B U

A) x(0) + A) (s)

−1 −1

Y (s) = C (sI − [ C (sI − A) B + D ] U

A) x(0) + (s)

Matrice inversa :

2 × 2 −1 1

a b d −b

=

[ ] [ ]

​ ​ ​ ​ ​

c d −c a

ad − bc

2.4 Risposte Caratteristiche

Risposta impulsiva: